Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số...

Ta có ${y}'=\dfrac{\left( m-6 \right)\sin x}{{{\left( 2\cos x-m \right)}^{2}}},\forall x\in \left( 0;\pi \right)$. Vì $x\in \left( 0;\pi \right)$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& \sin x>0 \\
& \cos x\in \left( -1;1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do đó. để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\pi \right)$ thì ${y}'<0,\forall x\in \left( 0;\pi \right)$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-6<0 \\
& \dfrac{m}{2}\notin \left( -1;1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<6 \\
& m\notin \left( -2;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left( -\infty ;-2 \right]\cup \left[ 2;6 \right)$.
Mà $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 2;3;4;5 \right\}$.
Vậy có $4$ giá trị nguyên dương của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.