Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $\left( -10; 60 \right)$ để bất phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)+\left( 2m-1 \right){{\log }_{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}3+4\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\ne 0$.
A. $59$.
B. $57$.
C. $55$.
D. $61$.
A. $59$.
B. $57$.
C. $55$.
D. $61$.
Ta thấy ${{x}^{2}}+1>1;\forall x\ne 0$ $\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)>0$.
Đặt $t={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right);t>0$, khi đó ta được bất phương trình mới
$t+\dfrac{2m-1}{t}+4\ge 0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2m-1+4t\ge 0\Leftrightarrow 2m\ge -{{t}^{2}}-4t+1$ (1)
Đặt $f\left( t \right)=-{{t}^{2}}-4t+1;t>0$. Ta có ${f}'\left( t \right)=-2t-4;{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-2\notin \left( 0; +\infty \right)$.
Ta có bảng biến thiên
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\ne 0$ $\Leftrightarrow \left( 2 \right)$ nghiệm đúng với mọi $t>0$
$\Leftrightarrow 2m\ge 1\Leftrightarrow m\ge \dfrac{1}{2}$.
Vì $m\in \mathbb{Z},m\in \left( -10; 60 \right)$ nên $m\in \left\{ 1; 2; 3;....; 59 \right\}$. Vậy có 59 số nguyên $m$ thoả mãn.
Đặt $t={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right);t>0$, khi đó ta được bất phương trình mới
$t+\dfrac{2m-1}{t}+4\ge 0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2m-1+4t\ge 0\Leftrightarrow 2m\ge -{{t}^{2}}-4t+1$ (1)
Đặt $f\left( t \right)=-{{t}^{2}}-4t+1;t>0$. Ta có ${f}'\left( t \right)=-2t-4;{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-2\notin \left( 0; +\infty \right)$.
Ta có bảng biến thiên
$\Leftrightarrow 2m\ge 1\Leftrightarrow m\ge \dfrac{1}{2}$.
Vì $m\in \mathbb{Z},m\in \left( -10; 60 \right)$ nên $m\in \left\{ 1; 2; 3;....; 59 \right\}$. Vậy có 59 số nguyên $m$ thoả mãn.
Đáp án A.
