Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -4;+\infty \right)$ để hàm số $y=-{{x}^{4}}+54{{x}^{2}}-2mx$ có ba điểm cực trị?
A. $110$.
B. $112$.
C. $113$.
D. $111$.
A. $110$.
B. $112$.
C. $113$.
D. $111$.
Ta có: $y=-4{{x}^{3}}+108x-2m$.
Để hàm số có ba cực trị thì $y=-4{{x}^{3}}+108x-2m=0$ phải có ba nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow m=-2{{x}^{3}}+54x$ phải có ba nghiệm phân biệt.
Xét hàm $f\left( x \right)=-2{{x}^{3}}+54x$ với $x\in \mathbb{R}$ ta có: $f'\left( x \right)=-6{{x}^{2}}+54=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
Để phương trình có ba nghiệm phân biệt thì $-108<m<108$.
Mà $m\in \left( -4;+\infty \right)$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=\left\{ -3;-2;-1;...;107 \right\}$. Vậy có $111$ giá trị.
Để hàm số có ba cực trị thì $y=-4{{x}^{3}}+108x-2m=0$ phải có ba nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow m=-2{{x}^{3}}+54x$ phải có ba nghiệm phân biệt.
Xét hàm $f\left( x \right)=-2{{x}^{3}}+54x$ với $x\in \mathbb{R}$ ta có: $f'\left( x \right)=-6{{x}^{2}}+54=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
Mà $m\in \left( -4;+\infty \right)$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=\left\{ -3;-2;-1;...;107 \right\}$. Vậy có $111$ giá trị.
Đáp án D.
