Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;20...

Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& {{\log }_{3}}{{x}^{3}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& {{x}^{3}}\ge 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x\ge 1$.
Ta có: ${{\log }_{3}}{{x}^{2}}+m\sqrt{{{\log }_{3}}{{x}^{3}}}+m+1\le 0$ $\Leftrightarrow 2{{\log }_{3}}x+m\sqrt{3{{\log }_{3}}x}+m+1\le 0$.
Đặt $\sqrt{3{{\log }_{3}}x}=t \left( t\ge 0 \right)\Rightarrow {{\log }_{3}}x=\dfrac{{{t}^{2}}}{3}$.
Ta có bất phương trình $\dfrac{2}{3}{{t}^{2}}+mt+m+1\le 0\Leftrightarrow 3m\le \dfrac{-2{{t}^{2}}+3}{t+1}$.
Nhận xét: Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{-2{{t}^{2}}+3}{t+1}$ trên $\left[ 0;+\infty \right)$ ta có:
$f'\left( t \right)=\dfrac{-2{{t}^{2}}+4t-3}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}$. Giải phương trình $f'\left( t \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{-2-\sqrt{10}}{2} \left( L \right) \\
& t=\dfrac{-2+\sqrt{10}}{2} \left( TM \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:

Bất phương trình ${{\log }_{3}}{{x}^{2}}+m\sqrt{{{\log }_{3}}{{x}^{3}}}+m+1\le 0$ có không quá 20 nghiệm nguyên
$\Leftrightarrow 3a>\dfrac{-6{{\log }_{3}}21+3}{\sqrt{3{{\log }_{3}}21}+1}$ $\Leftrightarrow \dfrac{-2{{\log }_{3}}21+1}{\sqrt{3{{\log }_{3}}21}+1}\approx -1,685$.
Tập các giá trị của $m$ thỏa mãn là: $\left\{ -1;0;...;20 \right\}$ $\Rightarrow $ Có 22 giá trị của $m$ thỏa mãn.