Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( 4-m \right)x+1$ có ba điểm cực trị?
A. $17$.
B. $12$.
C. $15$.
D. $8$.
A. $17$.
B. $12$.
C. $15$.
D. $8$.
+) Ta có $y'=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+\left( 4-m \right)$
+) Hàm số $y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( 4-m \right)x+1$ có ba cực trị khi và chỉ khi $y'=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+\left( 4-m \right)=0$ có ba nghiệm phân biệt.
+) Xét phương trình: $4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=m-4$.
$h(x)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}\Rightarrow h'(x)=12{{x}^{2}}-24x$ ; $h'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow y=0 \\
& x=2\Rightarrow y=-16 \\
\end{aligned} \right.$
+) Vậy $y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( 4-m \right)x+1$ có ba cực trị khi và chỉ khi $-16<m-4<0\Leftrightarrow -12<m<4$
Do $m$ nguyên nên có 15 giá trị $m$.
+) Hàm số $y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( 4-m \right)x+1$ có ba cực trị khi và chỉ khi $y'=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+\left( 4-m \right)=0$ có ba nghiệm phân biệt.
+) Xét phương trình: $4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=m-4$.
$h(x)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}\Rightarrow h'(x)=12{{x}^{2}}-24x$ ; $h'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow y=0 \\
& x=2\Rightarrow y=-16 \\
\end{aligned} \right.$
+) Vậy $y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( 4-m \right)x+1$ có ba cực trị khi và chỉ khi $-16<m-4<0\Leftrightarrow -12<m<4$
Do $m$ nguyên nên có 15 giá trị $m$.
Đáp án C.
