Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình...

ĐKXĐ: $m.{{x}^{2}}+4x+m>0$
Ta biến đổi BPT ${{\log }_{5}}\left( 5{{x}^{2}}+5 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m.{{x}^{2}}+4x+m \right)$
BPT nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi hệ BPT sau nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$
$\left\{ \begin{aligned}
& 5{{x}^{2}}+5\ge m.{{x}^{2}}+4x+m \\
& m.{{x}^{2}}+4x+m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( 5-m \right).{{x}^{2}}-4x+5-m\ge 0\text{ }\left( 1 \right) \\
& m.{{x}^{2}}+4x+m>0\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$ (*)
Xét $m=0$ : hệ (*) không nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$
Xét $m=5$ : hệ (*) không nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$
Xét $m\ne 0;m\ne 5$
Hệ (*) nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ $\left\{ \begin{aligned}
& 5-m>0 \\
& \Delta {{'}_{(1)}}\le 0 \\
& m>0 \\
& \Delta {{'}_{(2)}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<5 \\
& 4-{{\left( 5-m \right)}^{2}}\le 0 \\
& m>0 \\
& 4-{{m}^{2}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<5 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 7 \\
& m\le 3 \\
\end{aligned} \right. \\
& m>0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 3$
Có 1 giá trị nguyên của m là 3.