Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ biết các tam giác $ABD$ và $ACD$ là của tam giác vuông cân tại $B$ và $C$, tam giác $BCD$ đều có cạnh bằng $a$. Thể tích tứ diện $ABCD$ là
A. $\dfrac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$.
B. $\dfrac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
D. $\dfrac{a^{3}}{24}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AD$.
Vì các tam giác $ABD$ và $ACD$ là của tam giác vuông cân tại $B$ và $C$ suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& AD\bot BI \\
& AD\bot CI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AD\bot \left( BCI \right) $ suy ra $ AI\bot \left( BCD \right) $ $ \Rightarrow {{V}_{ABCI}}=\dfrac{1}{3}AI.{{S}_{BCI}}$.
Xét $ABD$ vuông cân tại $B$ có: $AD=a\sqrt{2}\Rightarrow AI=BI=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét $ACD$ vuông cân tại $B$ có: $AD=a\sqrt{2}\Rightarrow CI=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Nửa chu vi tam giác $BIC$ là: $p=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}+\dfrac{a\sqrt{2}}{2}+a}{2}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}a$.
Diện tích tam giác $BIC$ : ${{S}_{BIC}}=\sqrt{p\left( p-BI \right)\left( p-CI \right)\left( p-BC \right)}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$.
Ta có: ${{V}_{ABCI}}=\dfrac{1}{3}AI.{{S}_{BCI}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}}{4}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
Suy ra: ${{V}_{ABCD}}=2.{{V}_{ABCI}}=2.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
A. $\dfrac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$.
B. $\dfrac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
D. $\dfrac{a^{3}}{24}$.
Vì các tam giác $ABD$ và $ACD$ là của tam giác vuông cân tại $B$ và $C$ suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& AD\bot BI \\
& AD\bot CI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AD\bot \left( BCI \right) $ suy ra $ AI\bot \left( BCD \right) $ $ \Rightarrow {{V}_{ABCI}}=\dfrac{1}{3}AI.{{S}_{BCI}}$.
Xét $ABD$ vuông cân tại $B$ có: $AD=a\sqrt{2}\Rightarrow AI=BI=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét $ACD$ vuông cân tại $B$ có: $AD=a\sqrt{2}\Rightarrow CI=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Nửa chu vi tam giác $BIC$ là: $p=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}+\dfrac{a\sqrt{2}}{2}+a}{2}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}a$.
Diện tích tam giác $BIC$ : ${{S}_{BIC}}=\sqrt{p\left( p-BI \right)\left( p-CI \right)\left( p-BC \right)}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$.
Ta có: ${{V}_{ABCI}}=\dfrac{1}{3}AI.{{S}_{BCI}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}}{4}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
Suy ra: ${{V}_{ABCD}}=2.{{V}_{ABCI}}=2.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
Đáp án A.