Google
Câu hỏi: Cho tập $X=\left\{ 1;2;3;...;8 \right\}$. Lập từ $X$ số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để lập được số chia hết cho 1111 là:
A. $\dfrac{A_{8}^{2}A_{6}^{2}A_{4}^{2}}{8!}$
B. $\dfrac{4!4!}{8!}$
C. $\dfrac{C_{8}^{2}C_{6}^{2}C_{4}^{2}}{8!}$
D. $\dfrac{384}{8!}$
A. $\dfrac{A_{8}^{2}A_{6}^{2}A_{4}^{2}}{8!}$
B. $\dfrac{4!4!}{8!}$
C. $\dfrac{C_{8}^{2}C_{6}^{2}C_{4}^{2}}{8!}$
D. $\dfrac{384}{8!}$
Không gian mẫu: $\left| \Omega \right|=8!$
Số cần tìm có dạng: $t=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$ (với ${{a}_{i}}\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8 \right\}$ )
Ta có: ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{8}}=1+2+...+7+8=36$ chia hết cho 9
Do đó số $t$ cần tìm chia hết cho 9
Theo đề số $t$ chia hết cho 1111 nên ta có $t$ chia hết cho 9999 (vì 1111 và 9 là nguyên tố cùng nhau)
Ta có: $t=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}{{.10}^{4}}+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$
$t=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}.\left( 9999+1 \right)+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}.9999+\left( \overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}} \right)$
$t=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}.9999+m$
$t$ chia hết cho $9999\Leftrightarrow m$ chia hết cho 9999
$m$ là số có 4 chữ số và chia hết cho 9999 là số lớn nhất trong 4 chữ số nên $m=9999$
$\Rightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{5}}={{a}_{2}}+{{a}_{6}}={{a}_{3}}+{{a}_{7}}={{a}_{4}}+{{a}_{8}}=9$
Có 8 cách chọn ${{a}_{1}}\And {{a}_{5}}$
Có 6 cách chọn ${{a}_{2}}\And {{a}_{6}}$
Có 4 cách chọn ${{a}_{3}}\And {{a}_{7}}$
Có 2 cách chọn ${{a}_{4}}\And {{a}_{8}}$
$\Rightarrow $ Có: $8.6.4.2=384$ số
Xác suất cần tìm là: $P=\dfrac{384}{8!}$
Số cần tìm có dạng: $t=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$ (với ${{a}_{i}}\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8 \right\}$ )
Ta có: ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{8}}=1+2+...+7+8=36$ chia hết cho 9
Do đó số $t$ cần tìm chia hết cho 9
Theo đề số $t$ chia hết cho 1111 nên ta có $t$ chia hết cho 9999 (vì 1111 và 9 là nguyên tố cùng nhau)
Ta có: $t=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}{{.10}^{4}}+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$
$t=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}.\left( 9999+1 \right)+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}.9999+\left( \overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}} \right)$
$t=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}.9999+m$
$t$ chia hết cho $9999\Leftrightarrow m$ chia hết cho 9999
$m$ là số có 4 chữ số và chia hết cho 9999 là số lớn nhất trong 4 chữ số nên $m=9999$
$\Rightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{5}}={{a}_{2}}+{{a}_{6}}={{a}_{3}}+{{a}_{7}}={{a}_{4}}+{{a}_{8}}=9$
Có 8 cách chọn ${{a}_{1}}\And {{a}_{5}}$
Có 6 cách chọn ${{a}_{2}}\And {{a}_{6}}$
Có 4 cách chọn ${{a}_{3}}\And {{a}_{7}}$
Có 2 cách chọn ${{a}_{4}}\And {{a}_{8}}$
$\Rightarrow $ Có: $8.6.4.2=384$ số
Xác suất cần tìm là: $P=\dfrac{384}{8!}$
Đáp án D.
