Google
Câu hỏi: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $1\left( m \right)$ như hình vẽ bên. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $x\left( m \right)$ sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của $x$ để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là
A. $x=\dfrac{1}{2}$.
B. $x=\dfrac{3}{5}$.
C. $x=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
D. $x=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$.
Ta có hình chóp đều
Ta có đường chéo hình vuông bằng $\sqrt{2}$, suy ra đoạn thẳng nối đỉnh và trung điểm cạnh đáy của hình chóp đều làEuQ| $\dfrac{\sqrt{2}-x}{2}$, từ đó ta có chiều cao hình chóp là $h=\sqrt{{{\left( \dfrac{\sqrt{2}-x}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2-2\sqrt{2}x}}{2}$
Thể tích khối chóp đều bằng
$V=\dfrac{1}{3}{{x}^{2}}\dfrac{\sqrt{2-2\sqrt{2}x}}{2}=\dfrac{{{x}^{2}}\sqrt{2-2\sqrt{2}x}}{6}$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}\sqrt{2-2\sqrt{2}x}$
${f}'\left( x \right)=2x\sqrt{2-2\sqrt{2}x}-{{x}^{2}}.\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2-2\sqrt{2}x}}$ $=\dfrac{2x\left( 2-2\sqrt{2}x \right)-{{x}^{2}}\sqrt{2}}{\sqrt{2-2\sqrt{2}x}}$ $=\dfrac{4x-5{{x}^{2}}\sqrt{2}}{\sqrt{2-2\sqrt{2}x}}$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\dfrac{2\sqrt{2}}{5} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên
Vậy3t3| khối chóp có thể tích lớn nhất khi $x=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$.
B. $x=\dfrac{3}{5}$.
C. $x=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
D. $x=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$.
Thể tích khối chóp đều bằng
$V=\dfrac{1}{3}{{x}^{2}}\dfrac{\sqrt{2-2\sqrt{2}x}}{2}=\dfrac{{{x}^{2}}\sqrt{2-2\sqrt{2}x}}{6}$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}\sqrt{2-2\sqrt{2}x}$
${f}'\left( x \right)=2x\sqrt{2-2\sqrt{2}x}-{{x}^{2}}.\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2-2\sqrt{2}x}}$ $=\dfrac{2x\left( 2-2\sqrt{2}x \right)-{{x}^{2}}\sqrt{2}}{\sqrt{2-2\sqrt{2}x}}$ $=\dfrac{4x-5{{x}^{2}}\sqrt{2}}{\sqrt{2-2\sqrt{2}x}}$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\dfrac{2\sqrt{2}}{5} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên
Đáp án D.