Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh 6. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$ là điểm $H$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $H B=2 H A$. Cạnh $SA$ hợp với mặt phẳng đáy góc $60^{\circ}$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ bằng
A. $84 \pi$.
B. $\dfrac{220 \pi}{3}$.
C. $\dfrac{1900 \pi}{3}$.
D. $88 \pi$.
Gọi $O=AC\cap BD$. $d$ là đường thẳng đi qua $O$ và song song với $SH$.
Góc giữa $SA$ hợp với mặt phẳng đáy góc $60^{\circ}$ là $\widehat{SAH}$.
Ta có $\widehat{SAH}={{60}^{0}}\Rightarrow \tan \widehat{SAH}=\dfrac{SH}{AH}\Rightarrow SH=\tan {{60}^{0}}.AH=\sqrt{3}.\dfrac{1}{3}AB=2\sqrt{3}$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$. Vì $I\in d$ nên $IA=IB=IC=ID$.
Trong tam giác $OAH$, ta có $O{{H}^{2}}=O{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}-2OA.AH.\cos {{45}^{0}}=$ $18+4-2.3\sqrt{2}.2.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=10$.
Đặt $OI=x,\left( x>0 \right)$.
Ta được $I{{B}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( OB \right)}^{2}}={{x}^{2}}+18;$ $I{{S}^{2}}={{\left( 2\sqrt{3}-x \right)}^{2}}+O{{H}^{2}}={{\left( 2\sqrt{3}-x \right)}^{2}}+10$
Từ đó $I{{B}^{2}}=I{{S}^{2}}\Leftrightarrow $ ${{x}^{2}}+18={{\left( 2\sqrt{3}-x \right)}^{2}}+10\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Ta được $I{{B}^{2}}={{\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}+18=\dfrac{55}{3}$
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ bằng $4\pi .I{{B}^{2}}=\dfrac{220}{3}\pi $.
A. $84 \pi$.
B. $\dfrac{220 \pi}{3}$.
C. $\dfrac{1900 \pi}{3}$.
D. $88 \pi$.
Góc giữa $SA$ hợp với mặt phẳng đáy góc $60^{\circ}$ là $\widehat{SAH}$.
Ta có $\widehat{SAH}={{60}^{0}}\Rightarrow \tan \widehat{SAH}=\dfrac{SH}{AH}\Rightarrow SH=\tan {{60}^{0}}.AH=\sqrt{3}.\dfrac{1}{3}AB=2\sqrt{3}$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$. Vì $I\in d$ nên $IA=IB=IC=ID$.
Trong tam giác $OAH$, ta có $O{{H}^{2}}=O{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}-2OA.AH.\cos {{45}^{0}}=$ $18+4-2.3\sqrt{2}.2.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=10$.
Đặt $OI=x,\left( x>0 \right)$.
Ta được $I{{B}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( OB \right)}^{2}}={{x}^{2}}+18;$ $I{{S}^{2}}={{\left( 2\sqrt{3}-x \right)}^{2}}+O{{H}^{2}}={{\left( 2\sqrt{3}-x \right)}^{2}}+10$
Từ đó $I{{B}^{2}}=I{{S}^{2}}\Leftrightarrow $ ${{x}^{2}}+18={{\left( 2\sqrt{3}-x \right)}^{2}}+10\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Ta được $I{{B}^{2}}={{\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}+18=\dfrac{55}{3}$
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ bằng $4\pi .I{{B}^{2}}=\dfrac{220}{3}\pi $.
Đáp án B.
