Google
Câu hỏi: Từ một tấm tôn hình tam giác đều cạnh bằng $6\text{m}$, ông A cắt thành một tấm tôn hình chữ nhật và cuộn lại được một cái thùng hình trụ(như hình vẽ)
Ông A làm được cái thùng có thể tích tối đa là $V$ (Vật liệu làm nắp thùng coi như không liên quan). Giá trị của $V$ thỏa mãn
A. $V\le 1 {{\text{m}}^{3}}$.
B. $1 {{\text{m}}^{3}}<V\le 2 {{\text{m}}^{3}}$.
C. $2 {{\text{m}}^{3}}<V\le 3 {{\text{m}}^{3}}$.
D. $V>3 {{\text{m}}^{3}}$.
Giả sử tấm tôn hình tam giác đều $ABC$, ông A cắt thành một tấm tôn hình chữ nhật $MNPQ$ như hình vẽ, $H$ là trung điểm của $BC$.
Đặt $MN=2x \left( x\in \left( 0 ; 3 \right) \right)$.
Ta có $AH=3\sqrt{3}$, $\dfrac{MQ}{AH}=\dfrac{BM}{BH}=\dfrac{3-x}{3}$ $\Rightarrow MQ=\left( 3-x \right)\sqrt{3}$.
Cái thùng hình trụ có bán kính đáy $R=\dfrac{2x}{2\pi }=\dfrac{x}{\pi }$, chiều cao $h=MQ=\left( 3-x \right)\sqrt{3}$. Suy ra, thể tích của cái thùng là
$V=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{\left( \dfrac{x}{\pi } \right)}^{2}}\left( 3-x \right)\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{\pi }{{x}^{2}}\left( 3-x \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2\pi }.x.x\left( 6-2x \right)\le \dfrac{\sqrt{3}}{2\pi }{{\left( \dfrac{x+x+\left( 6-2x \right)}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\pi }$.
$V=\dfrac{4\sqrt{3}}{\pi }$ $\Leftrightarrow x=6-2x$ $\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn).
Vậy $\text{max}V=\dfrac{4\sqrt{3}}{\pi }{{\text{m}}^{3}}$.
A. $V\le 1 {{\text{m}}^{3}}$.
B. $1 {{\text{m}}^{3}}<V\le 2 {{\text{m}}^{3}}$.
C. $2 {{\text{m}}^{3}}<V\le 3 {{\text{m}}^{3}}$.
D. $V>3 {{\text{m}}^{3}}$.
Đặt $MN=2x \left( x\in \left( 0 ; 3 \right) \right)$.
Ta có $AH=3\sqrt{3}$, $\dfrac{MQ}{AH}=\dfrac{BM}{BH}=\dfrac{3-x}{3}$ $\Rightarrow MQ=\left( 3-x \right)\sqrt{3}$.
Cái thùng hình trụ có bán kính đáy $R=\dfrac{2x}{2\pi }=\dfrac{x}{\pi }$, chiều cao $h=MQ=\left( 3-x \right)\sqrt{3}$. Suy ra, thể tích của cái thùng là
$V=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{\left( \dfrac{x}{\pi } \right)}^{2}}\left( 3-x \right)\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{\pi }{{x}^{2}}\left( 3-x \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2\pi }.x.x\left( 6-2x \right)\le \dfrac{\sqrt{3}}{2\pi }{{\left( \dfrac{x+x+\left( 6-2x \right)}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\pi }$.
$V=\dfrac{4\sqrt{3}}{\pi }$ $\Leftrightarrow x=6-2x$ $\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn).
Vậy $\text{max}V=\dfrac{4\sqrt{3}}{\pi }{{\text{m}}^{3}}$.
Đáp án C.
