Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $AB=1$, cạnh bên $SA=1$ và vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$. Kí hiệu $M$ là điểm di động trên đoạn $CD$ và $N$ là điểm di động trên đoạn $CB$ sao cho $\widehat{MAN}=45{}^\circ $. Thể tích nhỏ nhất của khối chóp $S.AMN$ là
A. $\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}+1}{9}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}+1}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}-1}{9}$.
Đặt $DM=x; BN=y \left( 0<x, y<1 \right)$.
Ta có ${{S}_{\Delta AMN}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta ABN}}-{{S}_{\Delta ADM}}-{{S}_{\Delta CMN}}=1-\dfrac{1}{2}\left[ x+y+\left( 1-x \right)\left( 1-y \right) \right]=\dfrac{1}{2}\left( 1-xy \right)$
Xét tam giác vuông $CMN$ : $M{{N}^{2}}={{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{\left( 1-y \right)}^{2}} \left( 1 \right)$.
Áp dụng định lí $\cos $ cho tam giác $\Delta AMN$ :
$M{{N}^{2}}=A{{M}^{2}}+A{{N}^{2}}-2.AM.AN.\cos 45{}^\circ =1+{{x}^{2}}+1+{{y}^{2}}-\sqrt{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\sqrt{{{y}^{2}}+1} \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra ${{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{\left( 1-y \right)}^{2}}=1+{{x}^{2}}+1+{{y}^{2}}-\sqrt{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\sqrt{{{y}^{2}}+1}$
$\Leftrightarrow 2x+2y=\sqrt{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right)}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{x}^{2}}{{y}^{2}}+1-4xy \left( 3 \right)$
Ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy \left( 4 \right)$
Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra ${{x}^{2}}{{y}^{2}}+1-4xy\ge 2xy\Leftrightarrow {{\left( xy \right)}^{2}}-6xy+1\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& xy\ge 3+2\sqrt{2} \left( loai \right) \\
& xy\le 3-2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ ${{S}_{\Delta AMN}}=\dfrac{1}{2}\left( 1-xy \right)\ge \sqrt{2}-1$ $\Rightarrow $ ${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{\Delta AMN}}\ge \dfrac{\sqrt{2}-1}{3}$
Dấu $''=''$ xảy ra $\left\{ \begin{aligned}
& x=y \\
& xy=3-2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=y=\sqrt{3-2\sqrt{2}}$
Vậy thể tích nhỏ nhất của khối chóp $S.AMN$ bằng $\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}$
A. $\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}+1}{9}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}+1}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}-1}{9}$.
Ta có ${{S}_{\Delta AMN}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta ABN}}-{{S}_{\Delta ADM}}-{{S}_{\Delta CMN}}=1-\dfrac{1}{2}\left[ x+y+\left( 1-x \right)\left( 1-y \right) \right]=\dfrac{1}{2}\left( 1-xy \right)$
Xét tam giác vuông $CMN$ : $M{{N}^{2}}={{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{\left( 1-y \right)}^{2}} \left( 1 \right)$.
Áp dụng định lí $\cos $ cho tam giác $\Delta AMN$ :
$M{{N}^{2}}=A{{M}^{2}}+A{{N}^{2}}-2.AM.AN.\cos 45{}^\circ =1+{{x}^{2}}+1+{{y}^{2}}-\sqrt{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\sqrt{{{y}^{2}}+1} \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra ${{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{\left( 1-y \right)}^{2}}=1+{{x}^{2}}+1+{{y}^{2}}-\sqrt{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\sqrt{{{y}^{2}}+1}$
$\Leftrightarrow 2x+2y=\sqrt{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right)}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{x}^{2}}{{y}^{2}}+1-4xy \left( 3 \right)$
Ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy \left( 4 \right)$
Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra ${{x}^{2}}{{y}^{2}}+1-4xy\ge 2xy\Leftrightarrow {{\left( xy \right)}^{2}}-6xy+1\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& xy\ge 3+2\sqrt{2} \left( loai \right) \\
& xy\le 3-2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ ${{S}_{\Delta AMN}}=\dfrac{1}{2}\left( 1-xy \right)\ge \sqrt{2}-1$ $\Rightarrow $ ${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{\Delta AMN}}\ge \dfrac{\sqrt{2}-1}{3}$
Dấu $''=''$ xảy ra $\left\{ \begin{aligned}
& x=y \\
& xy=3-2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=y=\sqrt{3-2\sqrt{2}}$
Vậy thể tích nhỏ nhất của khối chóp $S.AMN$ bằng $\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}$
Đáp án A.
