Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa đường thẳng $A{B}'$ và mặt phẳng $(BC{B}'{C}')$ bằng ${{30}^{0}}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{12}$.
C. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot BC \\
& AM\bot BB' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot (BC{C}'{B}') $ do đó góc giữa đường thẳng $ AB' $ và mặt phẳng $ (BCB'C') $ bằng góc $ \widehat{AB'M}$
Xét tam giác $\Delta A{B}'M$ có $\widehat{AB'M}={{30}^{0}}$, $\widehat{AM{B}'}={{90}^{0}}$, $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $A{B}'=\dfrac{AM}{\sin {{30}^{0}}}=a\sqrt{3}$
Suy ra $A{A}'=\sqrt{A{{{{B}'}}^{2}}-{A}'{{{{B}'}}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$
Suy ra ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}= A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=a\sqrt{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{12}$.
C. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot BC \\
& AM\bot BB' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot (BC{C}'{B}') $ do đó góc giữa đường thẳng $ AB' $ và mặt phẳng $ (BCB'C') $ bằng góc $ \widehat{AB'M}$
Xét tam giác $\Delta A{B}'M$ có $\widehat{AB'M}={{30}^{0}}$, $\widehat{AM{B}'}={{90}^{0}}$, $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $A{B}'=\dfrac{AM}{\sin {{30}^{0}}}=a\sqrt{3}$
Suy ra $A{A}'=\sqrt{A{{{{B}'}}^{2}}-{A}'{{{{B}'}}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$
Suy ra ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}= A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=a\sqrt{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
Đáp án C.