Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $\dfrac{a}{2}$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng
A. $60{}^\circ $.
B. $90{}^\circ $.
C. $45{}^\circ $.
D. $30{}^\circ $.
A. $60{}^\circ $.
B. $90{}^\circ $.
C. $45{}^\circ $.
D. $30{}^\circ $.
Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ suy ra $AM\bot BC$ (vì $\Delta ABC$ đều).
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot {A}'M $ khi đó $ \left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)=\left( {A}'M,AM \right)=\widehat{{A}'MA}$.
Với $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $A{A}'=\dfrac{a}{2}$ ta có: $\tan \widehat{{A}'MA}=\dfrac{A{A}'}{AM}=\dfrac{a}{2}:\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{{A}'MA}=30{}^\circ $.
Do vậy $\left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)=30{}^\circ $.
& BC\bot AM \\
& BC\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot {A}'M $ khi đó $ \left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)=\left( {A}'M,AM \right)=\widehat{{A}'MA}$.
Với $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $A{A}'=\dfrac{a}{2}$ ta có: $\tan \widehat{{A}'MA}=\dfrac{A{A}'}{AM}=\dfrac{a}{2}:\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{{A}'MA}=30{}^\circ $.
Do vậy $\left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)=30{}^\circ $.
Đáp án D.
