Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy bằng $a,$ góc giữa đường thẳng $A{B}'$ và mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng $30{}^\circ $. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{12}$.
C. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$ suy ra $AM\bot BC$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot BC \\
& AM\bot B{B}' \\
\end{aligned} \right. $ nên $ AM\bot \left( BC{C}'{B}' \right) $ do đó $ \left( A{B}',\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\left( A{B}',M{B}' \right)=\widehat{A{B}'M}$.
Theo đề bài, ta có $\widehat{A{B}'M}=30{}^\circ $, $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $BM=\dfrac{AM}{\tan 30{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}:\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{3a}{2}$.
Ta có $B{B}'=\sqrt{{B}'{{A}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{3a}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=B{B}'.{{S}_{ABC}}=a\sqrt{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{12}$.
C. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot BC \\
& AM\bot B{B}' \\
\end{aligned} \right. $ nên $ AM\bot \left( BC{C}'{B}' \right) $ do đó $ \left( A{B}',\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\left( A{B}',M{B}' \right)=\widehat{A{B}'M}$.
Theo đề bài, ta có $\widehat{A{B}'M}=30{}^\circ $, $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $BM=\dfrac{AM}{\tan 30{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}:\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{3a}{2}$.
Ta có $B{B}'=\sqrt{{B}'{{A}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{3a}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=B{B}'.{{S}_{ABC}}=a\sqrt{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
Đáp án C.