Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$.Tam giác $A'AB$ cân tại $A'$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, mặt bên $(AA'C'C)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc ${{60}^{0}}$.Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{32}$.
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}$.
C. $V=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{16}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB\Rightarrow A'H\bot AB$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& (A'BC)\bot (ABC) \\
& (A'BC)\cap (ABC)=AB \\
& A'H\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A'H\bot (ABC)$
Dựng $HI\bot AC\Rightarrow AC\bot (A'HI)\Rightarrow A'I\bot AC$
Suy ra $\left( \left( ACC'A' \right);\left( ABC \right) \right)=\left( A'I;HI \right)=\overset\frown{A'IH}={{60}^{0}}$
Dựng $BM\bot AC\Rightarrow HI=\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{1}{2}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Trong tam giác $A'IH$ có $A'H=HI.\tan \overset\frown{A'IH}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\tan {{60}^{0}}=\dfrac{3a}{4}$
Vậy thể tích lăng trụ: $V={{S}_{\Delta ABC}}.A'H=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\dfrac{3a}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{32}$.
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}$.
C. $V=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{16}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& (A'BC)\bot (ABC) \\
& (A'BC)\cap (ABC)=AB \\
& A'H\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A'H\bot (ABC)$
Dựng $HI\bot AC\Rightarrow AC\bot (A'HI)\Rightarrow A'I\bot AC$
Suy ra $\left( \left( ACC'A' \right);\left( ABC \right) \right)=\left( A'I;HI \right)=\overset\frown{A'IH}={{60}^{0}}$
Dựng $BM\bot AC\Rightarrow HI=\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{1}{2}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Trong tam giác $A'IH$ có $A'H=HI.\tan \overset\frown{A'IH}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\tan {{60}^{0}}=\dfrac{3a}{4}$
Vậy thể tích lăng trụ: $V={{S}_{\Delta ABC}}.A'H=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\dfrac{3a}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
Đáp án D.