Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ đáy là tam giác đều cạnh $a$. Biết khoảng cách giữa đường thẳng $B'C'$ với mặt phẳng $\left( A'BC \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$, thể tích của khối lăng trụ bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{5}}{20}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{3}{8}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{7}}{28}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{2}}{8}{{a}^{3}}$.
Ta có $AB'\cap A'B=I$ là trung điểm của mỗi đường.
$d\left( B'C',\left( A'BC \right) \right)=d\left( B',\left( A'BC \right) \right)=\dfrac{B'I}{AI}d\left( A,\left( A'BC \right) \right)=d\left( A,\left( A'BC \right) \right)$.
Kẻ $AH\bot BC$ ( $H$ là trung điểm của $BC$ ) suy ra
$BC\bot \left( A'AH \right)\Rightarrow \left( A'BC \right)\bot \left( A'AH \right),\left( A'BC \right)\cap \left( A'AH \right)=A'H$.
Kẻ $AK\bot A'H\Rightarrow AK\bot \left( A'AB \right)\Rightarrow d\left( A,\left( A'AB \right) \right)=AK=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Ta lại có $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{AA{{'}^{2}}}\Rightarrow AA'=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.
Vậy thể tích của lăng trụ là $V=AA'.{{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}a.\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{20}{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{3\sqrt{5}}{20}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{3}{8}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{7}}{28}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{2}}{8}{{a}^{3}}$.
$d\left( B'C',\left( A'BC \right) \right)=d\left( B',\left( A'BC \right) \right)=\dfrac{B'I}{AI}d\left( A,\left( A'BC \right) \right)=d\left( A,\left( A'BC \right) \right)$.
Kẻ $AH\bot BC$ ( $H$ là trung điểm của $BC$ ) suy ra
$BC\bot \left( A'AH \right)\Rightarrow \left( A'BC \right)\bot \left( A'AH \right),\left( A'BC \right)\cap \left( A'AH \right)=A'H$.
Kẻ $AK\bot A'H\Rightarrow AK\bot \left( A'AB \right)\Rightarrow d\left( A,\left( A'AB \right) \right)=AK=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Ta lại có $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{AA{{'}^{2}}}\Rightarrow AA'=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.
Vậy thể tích của lăng trụ là $V=AA'.{{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}a.\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{20}{{a}^{3}}$.
Đáp án A.
