Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có mặt đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ có $AB=a, AC=a\sqrt{3}, A'B=2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Khoảng cách từ $M$ đến $(A'BC)$ là:
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{3a}{2}$.
D. $\dfrac{3a}{4}$.
+ $d(M,(A'BC))=\dfrac{1}{2}d(A,(A'BC))$.
Kẻ $AH\bot A'B (1)$.
Ta có: $A'A\bot (ABC)\Rightarrow A'A\bot BC$.
Mà $AB\bot BC\Rightarrow BC\bot (A'ABB')$.
Có:
$\left. \begin{aligned}
& BC\bot (A'ABB') \\
& AH\subset (A'ABB') \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AH\bot BC (2)$.
Từ $(1), (2)\Rightarrow AH\bot (A'BC)\Rightarrow d(A,(A'BC))=AH$.
Ta có: $\text{AA}'=\sqrt{A'{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
${{S}_{\Delta {A}'AB}}=\dfrac{1}{2}AH.{A}'B=\dfrac{1}{2}A{A}'.AB\Rightarrow AH=\dfrac{AA'.AB}{A'B}=\dfrac{a\sqrt{3}.a}{2a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$d(M,(A'BC))=\dfrac{1}{2}d(A,(A'BC))=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{3a}{2}$.
D. $\dfrac{3a}{4}$.
Kẻ $AH\bot A'B (1)$.
Ta có: $A'A\bot (ABC)\Rightarrow A'A\bot BC$.
Mà $AB\bot BC\Rightarrow BC\bot (A'ABB')$.
Có:
$\left. \begin{aligned}
& BC\bot (A'ABB') \\
& AH\subset (A'ABB') \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AH\bot BC (2)$.
Từ $(1), (2)\Rightarrow AH\bot (A'BC)\Rightarrow d(A,(A'BC))=AH$.
Ta có: $\text{AA}'=\sqrt{A'{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
${{S}_{\Delta {A}'AB}}=\dfrac{1}{2}AH.{A}'B=\dfrac{1}{2}A{A}'.AB\Rightarrow AH=\dfrac{AA'.AB}{A'B}=\dfrac{a\sqrt{3}.a}{2a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$d(M,(A'BC))=\dfrac{1}{2}d(A,(A'BC))=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Đáp án A.