Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( A'BC \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$, $A'A=A'B=A'C$. Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{5}$.
- Gọi $O$ là hình chiếu của điểm $A'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
Do $A'A=A'B=A'C\Rightarrow OA=OB=OC$ hay $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$.
- Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Khi đó, $\widehat{\left( \left( A'BC \right); \left( ABC \right) \right)}=\widehat{A'IO}={{60}^{0}}$.
- Xét tam giác $A'OI$ vuông tại $O$ có $OI=\dfrac{1}{3}AI=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ và $\widehat{A'IO}={{60}^{0}}$ Suy ra $A'O=OI.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3}=\dfrac{a}{2}$.
- Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{\Delta ABC}}.A'O=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{5}$.
Do $A'A=A'B=A'C\Rightarrow OA=OB=OC$ hay $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$.
- Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Khi đó, $\widehat{\left( \left( A'BC \right); \left( ABC \right) \right)}=\widehat{A'IO}={{60}^{0}}$.
- Xét tam giác $A'OI$ vuông tại $O$ có $OI=\dfrac{1}{3}AI=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ và $\widehat{A'IO}={{60}^{0}}$ Suy ra $A'O=OI.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3}=\dfrac{a}{2}$.
- Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{\Delta ABC}}.A'O=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
Đáp án A.
