Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng $(A'B'C')$ trùng với trung điểm của B’C’. Biết khoảng cách của hai đường thẳng $B'C'$ và $AC'$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$. Thể tích khối tứ diện $ACB'B$ bằng:
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{12}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}}$.
Đặt $AH=x;A'H=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Khoảng cách của hai đường thẳng $B'C'$ và $AC'$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$
Suy ra: Khoảng cách từ đường thẳng $B'B$ đến mặt phẳng $AA'C'C$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$
Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $AA'C'C$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$
Khoảng cách từ H đến mặt phẳng $AA'C'C$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$
$HK=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$
Gọi O là trung điểm của $A'C'$, gọi $I$ là trung điểm của $OC'$
Ta có: $(AHI)\bot (ACC'A')$ $\Rightarrow HK\bot (ACC'A')$
$\begin{aligned}
& \dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+16\dfrac{{{a}^{2}}}{3} \\
& \Rightarrow 19\dfrac{{{a}^{2}}}{3}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+16\dfrac{{{a}^{2}}}{3} \\
& \Rightarrow x=a \\
& \Rightarrow {{V}_{ACB'B}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \\
\end{aligned}$#! Lời giải
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{12}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}}$.
Khoảng cách của hai đường thẳng $B'C'$ và $AC'$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$
Suy ra: Khoảng cách từ đường thẳng $B'B$ đến mặt phẳng $AA'C'C$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$
Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $AA'C'C$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$
Khoảng cách từ H đến mặt phẳng $AA'C'C$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$
$HK=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$
Gọi O là trung điểm của $A'C'$, gọi $I$ là trung điểm của $OC'$
Ta có: $(AHI)\bot (ACC'A')$ $\Rightarrow HK\bot (ACC'A')$
$\begin{aligned}
& \dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+16\dfrac{{{a}^{2}}}{3} \\
& \Rightarrow 19\dfrac{{{a}^{2}}}{3}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+16\dfrac{{{a}^{2}}}{3} \\
& \Rightarrow x=a \\
& \Rightarrow {{V}_{ACB'B}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \\
\end{aligned}$#! Lời giải
Đáp án C.