Google
Câu hỏi: Cho khối nón $\left( N \right)$ có đỉnh $S$, tâm đường tròn đáy là $O$, góc ở đỉnh bằng $120{}^\circ $. Một mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $S$, cắt hình nón $\left( N \right)$ theo thiết diện là tam giác vuông $SAB$. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SO$ bằng $4$. Tính thể tích $V$ của khối nón $\left( N \right)$.
A. $V=192\pi $.
B. $V=128\pi $.
C. $V=96\pi $.
D. $V=64\pi $.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OI\bot SO \\
& OI\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( SO , AB \right)=OI $ $ =4$.
Đặt $OE=R\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SO=\dfrac{R\sqrt{3}}{3} \\
& SE=\dfrac{2R\sqrt{3}}{3} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{R}^{2}}}{3}+16}$.
Mặt khác $AB=2AI=2\sqrt{A{{O}^{2}}-O{{I}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-16}$.
Vì $\Delta SAB$ vuông tại $S$ nên $SI=\dfrac{1}{2}AB$ $\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{{{R}^{2}}}{3}+16}=\sqrt{{{R}^{2}}-16}\Leftrightarrow {{R}^{2}}=48\Leftrightarrow R=4\sqrt{3}$.
$\Rightarrow h=SO=4$.
Vậy $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .48.4=64\pi $.
A. $V=192\pi $.
B. $V=128\pi $.
C. $V=96\pi $.
D. $V=64\pi $.
& OI\bot SO \\
& OI\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( SO , AB \right)=OI $ $ =4$.
Đặt $OE=R\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SO=\dfrac{R\sqrt{3}}{3} \\
& SE=\dfrac{2R\sqrt{3}}{3} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{R}^{2}}}{3}+16}$.
Mặt khác $AB=2AI=2\sqrt{A{{O}^{2}}-O{{I}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-16}$.
Vì $\Delta SAB$ vuông tại $S$ nên $SI=\dfrac{1}{2}AB$ $\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{{{R}^{2}}}{3}+16}=\sqrt{{{R}^{2}}-16}\Leftrightarrow {{R}^{2}}=48\Leftrightarrow R=4\sqrt{3}$.
$\Rightarrow h=SO=4$.
Vậy $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .48.4=64\pi $.
Đáp án D.
