Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$, khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $B{B}'$ bằng $2$, khoảng cách từ $A$ đến các đường thẳng $B{B}'$ và $C{C}'$ lần lượt bằng $1$ và $\sqrt{3}$, hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ là trung điểm $M$ của ${B}'{C}'$ và ${A}'M=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $2$.
B. $1$.
C. $\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $N$ là trung điểm $BC$. Kẻ $AE\bot B{B}'$ tại $E$, $AF\bot C{C}'$ tại $F$.
Ta có $EF\cap MN=H$ nên $H$ là trung điểm $EF$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AE\bot A{A}' \\
& AF\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow A{A}'\bot \left( AEF \right) $ $ \Rightarrow A{A}'\bot EF $ $ \Rightarrow EF\bot B{B}'$.
Khi đó $d\left( A,B{B}' \right)=AE=1$, $d\left( A,C{C}' \right)=AF=\sqrt{3}$, $d\left( C,B{B}' \right)=EF=2$.
Nhận xét: $A{{E}^{2}}+A{{F}^{2}}=E{{F}^{2}}$ nên tam giác $AEF$ vuông tại $A$, suy ra $AH=\dfrac{EF}{2}=1$.
Ta lại có $\left\{ \begin{aligned}
& A{A}'\bot \left( AEF \right) \\
& MN//A{A}' \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow MN\bot \left( AEF \right)\Rightarrow MN\bot AH$.
Tam giác $AMN$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên $\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}$ $=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{N}^{2}}}$ $=1-\dfrac{3}{4}$ $=\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow AM=2$.
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& \left( A{A}'NM \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( A{A}'NM \right)\bot \left( AEF \right) \\
& \left( A{A}'NM \right)\cap \left( ABC \right)=AN \\
& \left( A{A}'NM \right)\cap \left( AEF \right)=AH \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow $ Góc giữa mặt phẳng $ \left( ABC \right) $ và $ \left( AEF \right) $ là $ \widehat{HAN}$.
Hình chiếu của tam giác $ABC$ lên mặt phẳng $\left( AEF \right)$ là tam giác $AEF$ nên:
${{S}_{\Delta AEF}}={{S}_{\Delta ABC}}.\cos \widehat{HAN}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}AE.AF={{S}_{\Delta ABC}}.\dfrac{AH}{AN}$ $\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{AE.AF.AN}{AH}$ $=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1.\sqrt{3}.\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}{1}$ $=1$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.AM=2$.
A. $2$.
B. $1$.
C. $\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
Ta có $EF\cap MN=H$ nên $H$ là trung điểm $EF$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AE\bot A{A}' \\
& AF\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow A{A}'\bot \left( AEF \right) $ $ \Rightarrow A{A}'\bot EF $ $ \Rightarrow EF\bot B{B}'$.
Khi đó $d\left( A,B{B}' \right)=AE=1$, $d\left( A,C{C}' \right)=AF=\sqrt{3}$, $d\left( C,B{B}' \right)=EF=2$.
Nhận xét: $A{{E}^{2}}+A{{F}^{2}}=E{{F}^{2}}$ nên tam giác $AEF$ vuông tại $A$, suy ra $AH=\dfrac{EF}{2}=1$.
Ta lại có $\left\{ \begin{aligned}
& A{A}'\bot \left( AEF \right) \\
& MN//A{A}' \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow MN\bot \left( AEF \right)\Rightarrow MN\bot AH$.
Tam giác $AMN$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên $\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}$ $=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{N}^{2}}}$ $=1-\dfrac{3}{4}$ $=\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow AM=2$.
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& \left( A{A}'NM \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( A{A}'NM \right)\bot \left( AEF \right) \\
& \left( A{A}'NM \right)\cap \left( ABC \right)=AN \\
& \left( A{A}'NM \right)\cap \left( AEF \right)=AH \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow $ Góc giữa mặt phẳng $ \left( ABC \right) $ và $ \left( AEF \right) $ là $ \widehat{HAN}$.
Hình chiếu của tam giác $ABC$ lên mặt phẳng $\left( AEF \right)$ là tam giác $AEF$ nên:
${{S}_{\Delta AEF}}={{S}_{\Delta ABC}}.\cos \widehat{HAN}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}AE.AF={{S}_{\Delta ABC}}.\dfrac{AH}{AN}$ $\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{AE.AF.AN}{AH}$ $=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1.\sqrt{3}.\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}{1}$ $=1$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.AM=2$.
Đáp án A.