Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=a$. Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ bằng $\dfrac{\sqrt{6}}{3}a$, thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{6}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$.
C. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}{{a}^{3}}$.
Kẻ $AH\bot {A}'B$, $H\in {A}'B$.
Vì $\left. \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( AB{B}'{A}' \right) $ $ \Rightarrow BC\bot AH$.
Ta có $BC\bot AH,AH\bot {A}'B\Rightarrow AH\bot \left( {A}'BC \right)$. Do đó $d\left( A,({A}'BC) \right)=AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Xét tam giác vuông $A{A}'B$ vuông tại $A$, ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}=\dfrac{9}{6{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow {A}'A=a\sqrt{2}$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.{A}'A=\dfrac{1}{2}a.a.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{6}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$.
C. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}{{a}^{3}}$.
Vì $\left. \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( AB{B}'{A}' \right) $ $ \Rightarrow BC\bot AH$.
Ta có $BC\bot AH,AH\bot {A}'B\Rightarrow AH\bot \left( {A}'BC \right)$. Do đó $d\left( A,({A}'BC) \right)=AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Xét tam giác vuông $A{A}'B$ vuông tại $A$, ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}=\dfrac{9}{6{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow {A}'A=a\sqrt{2}$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.{A}'A=\dfrac{1}{2}a.a.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án B.