Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Khoảng cách từ tâm $O$ của tam giác $ABC$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ bằng $BCD$. Thể tích khối lăng trụ bằng
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$.
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{28}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{16}$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là hình chiếu của $A$ trên $A'M$.
Ta có $\left. \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( A{A}'M \right)\Rightarrow BC\bot AH$
Mà $AH\bot {A}'M\left( 2 \right)$
Từ và $\Rightarrow d\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)=AH$.
Ta có $\dfrac{d\left( O,\left( {A}'BC \right) \right)}{d\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)}=\dfrac{MO}{MA}=\dfrac{1}{3}$.
$\Rightarrow d\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)=3d\left( O,\left( {A}'BC \right) \right)=\dfrac{a}{2}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{a}{2}$.
Xét tam giác vuông $A'AM$ : $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}}-\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Leftrightarrow A{A}'=\dfrac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.
Suy ra thể tích lăng trụ $ABC.A'{B}'{C}'$ là: $V=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{16}$.
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$.
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{28}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{16}$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( A{A}'M \right)\Rightarrow BC\bot AH$
Mà $AH\bot {A}'M\left( 2 \right)$
Từ và $\Rightarrow d\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)=AH$.
Ta có $\dfrac{d\left( O,\left( {A}'BC \right) \right)}{d\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)}=\dfrac{MO}{MA}=\dfrac{1}{3}$.
$\Rightarrow d\left( A,\left( {A}'BC \right) \right)=3d\left( O,\left( {A}'BC \right) \right)=\dfrac{a}{2}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{a}{2}$.
Xét tam giác vuông $A'AM$ : $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}}-\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Leftrightarrow A{A}'=\dfrac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.
Suy ra thể tích lăng trụ $ABC.A'{B}'{C}'$ là: $V=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{16}$.
Đáp án D.
