Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh $A{A}'=a$, đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=a\sqrt{3}$, $BC=2a$, $A{A}'=a\sqrt{3}$. Khoảng cách từ đường thẳng $A{A}'$ đến mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng
A. $a$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Dựng $AH\bot CB~~\left( H\in CB \right)$
Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot B{B}' \\
& AH\bot BC~~ \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( BC{C}'{B}' \right)$.
Ta có: $d\left( A{A}',~~\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=d\left( A,~~\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AH$.
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ : $AH=\dfrac{AC.AB}{BC}=\dfrac{a\sqrt{3}.\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{3}a \right)}^{2}}}}{2a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy khoảng cách từ đường thẳng $A{A}'$ đến mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
A. $a$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot B{B}' \\
& AH\bot BC~~ \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( BC{C}'{B}' \right)$.
Ta có: $d\left( A{A}',~~\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=d\left( A,~~\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AH$.
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ : $AH=\dfrac{AC.AB}{BC}=\dfrac{a\sqrt{3}.\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{3}a \right)}^{2}}}}{2a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy khoảng cách từ đường thẳng $A{A}'$ đến mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án D.