Google
Câu hỏi: Cho khối chóp ${S.ABCD}$ có đáy ${ABCD}$ là hình thoi, ${\widehat{DAB}=60{}^\circ }$, ${AD=a}$, tam giác ${SBC}$ cân tại ${S}$, tam giác ${SCD}$ vuông tại ${C}$, khoảng cách giữa ${SA}$ và ${CD}$ bằng ${\dfrac{4a}{5}}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{\sqrt{11}}$.
B. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{\sqrt{11}}$.
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{3\sqrt{11}}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3\sqrt{11}}$.
Tam giác $BCD$ cân tại $C \left( CB=CD=a \right)$ có $\widehat{BCD}=\widehat{DAB}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta BCD$ là tam giác đều cạnh $a$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& DM\bot BC \\
& SM\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SDM \right)\Rightarrow \left( ABCD \right)\bot \left( SDM \right) $ mà $ \left( ABCD \right)\cap \left( SDM \right)=DM$.
Trong $\left( SDM \right)$, kẻ $SH\bot DM\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Vì $CD\bot SC \left( gt \right),CD\bot SH \left( do SH\bot \left( ABCD \right), CD\subset \left( ABCD \right) \right)\Rightarrow CD\bot \left( SHC \right)\Rightarrow CD\bot HC$.
Suy ra $H$ thuộc đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $CD$.
Vì $AB//CD\Rightarrow \left( SAB \right)//CD\Rightarrow d\left( SA, CD \right)=d\left( CD,\left( SAB \right) \right)=d\left( C,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{CE}{HE}d\left( H,\left( SAB \right) \right)$
(với $E=HC\cap AB$ ).
Vì $BE//CD, BN//CE$ (do cùng vuông góc $CD$ ) nên $BECN$ là hình bình hành.
$\Rightarrow CE=BN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}, HE=GN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2\times 3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
(với $G$ là trọng tâm của $\Delta BCD$ ).
$\Rightarrow \dfrac{CE}{HE}=\dfrac{BN}{GN}=3\Rightarrow d\left( SA, CD \right)=3d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{4a}{5}\Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{4a}{15}$. $\left( 1 \right)$
Kẻ $HK\bot SE\Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=HK$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)\left( 2 \right)\Rightarrow HK=\dfrac{4a}{15}$.
$\Delta SHE$ vuông tại $H, HK\bot SE\Rightarrow \dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{225}{16{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{36}{3{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SH=\dfrac{4a}{\sqrt{33}}$.
Thể tích của khối chóp đã cho là $V=\dfrac{1}{3}Bh=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{4a}{\sqrt{33}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3\sqrt{11}}$.
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{\sqrt{11}}$.
B. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{\sqrt{11}}$.
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{3\sqrt{11}}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3\sqrt{11}}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& DM\bot BC \\
& SM\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SDM \right)\Rightarrow \left( ABCD \right)\bot \left( SDM \right) $ mà $ \left( ABCD \right)\cap \left( SDM \right)=DM$.
Trong $\left( SDM \right)$, kẻ $SH\bot DM\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Vì $CD\bot SC \left( gt \right),CD\bot SH \left( do SH\bot \left( ABCD \right), CD\subset \left( ABCD \right) \right)\Rightarrow CD\bot \left( SHC \right)\Rightarrow CD\bot HC$.
Suy ra $H$ thuộc đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $CD$.
Vì $AB//CD\Rightarrow \left( SAB \right)//CD\Rightarrow d\left( SA, CD \right)=d\left( CD,\left( SAB \right) \right)=d\left( C,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{CE}{HE}d\left( H,\left( SAB \right) \right)$
(với $E=HC\cap AB$ ).
Vì $BE//CD, BN//CE$ (do cùng vuông góc $CD$ ) nên $BECN$ là hình bình hành.
$\Rightarrow CE=BN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}, HE=GN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2\times 3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
(với $G$ là trọng tâm của $\Delta BCD$ ).
$\Rightarrow \dfrac{CE}{HE}=\dfrac{BN}{GN}=3\Rightarrow d\left( SA, CD \right)=3d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{4a}{5}\Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{4a}{15}$. $\left( 1 \right)$
Kẻ $HK\bot SE\Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=HK$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)\left( 2 \right)\Rightarrow HK=\dfrac{4a}{15}$.
$\Delta SHE$ vuông tại $H, HK\bot SE\Rightarrow \dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{225}{16{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{36}{3{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SH=\dfrac{4a}{\sqrt{33}}$.
Thể tích của khối chóp đã cho là $V=\dfrac{1}{3}Bh=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{4a}{\sqrt{33}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3\sqrt{11}}$.
Đáp án D.