Google
Câu hỏi: Cho hình tứ diện $OABC$ có đáy $OBC$ là tam giác vuông tại $O$, $OB=a$, $OC=a\sqrt{3}$. Cạnh $OA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( OBC \right)$, $OA=a\sqrt{3}$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tính khoảng cách $h$ giữa hai đường thẳng $AB$ và $OM$.
A. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{15}$.
B. $h=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
C. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $h=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Dựng $D$ sao cho $BD//OM$ và $OM$ là đường trung bình của tam giác $BCD$.
Khi đó ta có $OM//\left( ABD \right)\Rightarrow d\left( AB,OM \right)=d\left( OM,\left( ABD \right) \right)=d\left( O,\left( ABD \right) \right)$.
Kẻ $OH\bot BD$. Lại có $BD\bot OA$ (do $\left\{ \begin{aligned}
& OA\bot \left( OBC \right) \\
& BD\subset \left( OBC \right) \\
\end{aligned} \right. $) suy ra $ BD\bot \left( AOH \right)$.
Suy ra $\left( AOH \right)\bot \left( ABD \right)$ theo giao tuyến $AH$.
Trong $\left( AHO \right)$, kẻ $OK\bot AH$ suy ra $OK\bot \left( ABD \right)\Leftrightarrow OK=d\left( O,\left( ABD \right) \right)$.
Trong $\Delta AHO$ : $\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}$
Suy ra $OK=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$ hay $d\left( AB,OM \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
A. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{15}$.
B. $h=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
C. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $h=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Khi đó ta có $OM//\left( ABD \right)\Rightarrow d\left( AB,OM \right)=d\left( OM,\left( ABD \right) \right)=d\left( O,\left( ABD \right) \right)$.
Kẻ $OH\bot BD$. Lại có $BD\bot OA$ (do $\left\{ \begin{aligned}
& OA\bot \left( OBC \right) \\
& BD\subset \left( OBC \right) \\
\end{aligned} \right. $) suy ra $ BD\bot \left( AOH \right)$.
Suy ra $\left( AOH \right)\bot \left( ABD \right)$ theo giao tuyến $AH$.
Trong $\left( AHO \right)$, kẻ $OK\bot AH$ suy ra $OK\bot \left( ABD \right)\Leftrightarrow OK=d\left( O,\left( ABD \right) \right)$.
Trong $\Delta AHO$ : $\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}$
Suy ra $OK=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$ hay $d\left( AB,OM \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Đáp án D.