Google
Câu hỏi: Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, $OB=a, OC=a\sqrt{3}$. Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng (OBC), $OA=a\sqrt{3}$, gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM.
A. $h=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
B. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{15}$.
D. $h=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
Trong mặt phẳng (OBC) dựng hình bình hành OMBN, kẻ $OI\bot BN$.
Kẻ $OH\bot AI$. Nhận xét $OM//\left( ABN \right)$ nên khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM bằng khoảng cách giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (ABN), bằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABN). Suy ra $h=d\left( O,\left( ABN \right) \right)=OH$.
Tam giác OBI có $OB=a$, $\widehat{BOM}=60{}^\circ $ nên $OI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Tam giác AOI vuông tại O nên $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$.
A. $h=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
B. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{15}$.
D. $h=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
Trong mặt phẳng (OBC) dựng hình bình hành OMBN, kẻ $OI\bot BN$.
Kẻ $OH\bot AI$. Nhận xét $OM//\left( ABN \right)$ nên khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM bằng khoảng cách giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (ABN), bằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABN). Suy ra $h=d\left( O,\left( ABN \right) \right)=OH$.
Tam giác OBI có $OB=a$, $\widehat{BOM}=60{}^\circ $ nên $OI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Tam giác AOI vuông tại O nên $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$.
Đáp án A.