Google
Câu hỏi: cho tứ diện $OABC$ có đáy $OBC$ là tam giác vuông $OB=a, OC=a\sqrt{3}$. Cạnh $OA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( OBC \right)$, $OA=a\sqrt{3}$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tính theo $a$ khoảng cách $h$ giữa hai đường thẳng $AB$ và $OM$.
A. $h=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
B. $h=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
C. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{15}$.
D. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trong mặt phẳng $\left( OBC \right)$ dựng hình bình hành $OMBN$.
Trong $\left( OMBN \right)$ kẻ $OI\bot BN\Rightarrow BN\bot \left( OAI \right)$ $\left( 1 \right)$
Trong $\left( OAI \right)$ kẻ $OH\bot AI$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ suy ra $OH\bot \left( ABN \right)\Rightarrow d\left( OM,\left( ABN \right) \right)=OH$
Ta có:
$OM||\left( ABN \right)$ $\Rightarrow $ $h=d\left( AB,OM \right)=d\left( OM,\left( ABN \right) \right)=OH$
Tam giác $OBI$ có $OB=a$, $\widehat{BOM}={{60}^{\text{o}}}$ nên $OI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác $AOI$ vuông tại $O$ nên $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=a\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.
A. $h=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
B. $h=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
C. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{15}$.
D. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trong $\left( OMBN \right)$ kẻ $OI\bot BN\Rightarrow BN\bot \left( OAI \right)$ $\left( 1 \right)$
Trong $\left( OAI \right)$ kẻ $OH\bot AI$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ suy ra $OH\bot \left( ABN \right)\Rightarrow d\left( OM,\left( ABN \right) \right)=OH$
Ta có:
$OM||\left( ABN \right)$ $\Rightarrow $ $h=d\left( AB,OM \right)=d\left( OM,\left( ABN \right) \right)=OH$
Tam giác $OBI$ có $OB=a$, $\widehat{BOM}={{60}^{\text{o}}}$ nên $OI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác $AOI$ vuông tại $O$ nên $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=a\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.
Đáp án A.