Google
Câu hỏi: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a, $AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Diện tích mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ bằng
A. $9\pi {{a}^{2}}$
B. $3\pi {{a}^{2}}$
C. $\dfrac{9\pi {{a}^{2}}}{4}$
D. $\dfrac{3\pi {{a}^{2}}}{4}$
Lấy I là trung điểm BC, ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a.
$\Rightarrow AI\bot BC; DI\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( ADI \right)$ và $AI=DI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ mà $AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \Delta \text{AD}I$ đều.
$\Rightarrow {{V}_{ABCD}}={{V}_{DABI}}+{{V}_{ADIC}}=\dfrac{1}{3}.IB.{{S}_{\Delta ADI}}+\dfrac{1}{3}.IC.{{S}_{\Delta ADI}}=2.\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{16}$.
Ta có: $d\left( A;\left( BCD \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{ABCD}}}{{{S}_{\Delta BCD}}}=3.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}:\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3a}{4}$.
Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ có bán kính: $R=d\left( A;\left( BCD \right) \right)=\dfrac{3a}{4}$.
$\Rightarrow $ Diện tích mặt cầu đã cho là: $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( \dfrac{3a}{4} \right)}^{2}}=\dfrac{9}{4}\pi {{a}^{2}}$.
A. $9\pi {{a}^{2}}$
B. $3\pi {{a}^{2}}$
C. $\dfrac{9\pi {{a}^{2}}}{4}$
D. $\dfrac{3\pi {{a}^{2}}}{4}$
$\Rightarrow AI\bot BC; DI\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( ADI \right)$ và $AI=DI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ mà $AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \Delta \text{AD}I$ đều.
$\Rightarrow {{V}_{ABCD}}={{V}_{DABI}}+{{V}_{ADIC}}=\dfrac{1}{3}.IB.{{S}_{\Delta ADI}}+\dfrac{1}{3}.IC.{{S}_{\Delta ADI}}=2.\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{16}$.
Ta có: $d\left( A;\left( BCD \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{ABCD}}}{{{S}_{\Delta BCD}}}=3.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}:\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3a}{4}$.
Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ có bán kính: $R=d\left( A;\left( BCD \right) \right)=\dfrac{3a}{4}$.
$\Rightarrow $ Diện tích mặt cầu đã cho là: $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( \dfrac{3a}{4} \right)}^{2}}=\dfrac{9}{4}\pi {{a}^{2}}$.
Đáp án C.