Google
Câu hỏi: Cho hình trụ xoay có hai đáy là hai hình tròn $(O;3){{;}_{{}}}(O';3)$. Biết rằng tồn tại dây cung $AB$ thuộc đường tròn $(O)$ sao cho $\Delta O'AB$ là tam giác đều và mặt phẳng $(O'AB)$ hợp với mặt phẳng chứa đường tròn $(O)$ một góc ${{60}^{0}}$. Tính diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}$ của hình nón có đỉnh $O'$, đáy là hình tròn $(O;3)$
A. ${{S}_{xq}}=\dfrac{27\pi \sqrt{7}}{7}$.
B. ${{S}_{xq}}=\dfrac{81\pi \sqrt{7}}{7}$.
C. ${{S}_{xq}}=\dfrac{54\pi \sqrt{7}}{7}$.
D. ${{S}_{xq}}=\dfrac{36\pi \sqrt{7}}{7}$.
Ta có:
$O'A=\sqrt{{{R}^{2}}+{{h}^{2}}}=\sqrt{{{h}^{2}}+9}$
Gọi H là trung điểm của AB
Mặt phẳng $(O'AB)$ hợp với mặt phẳng chứa đường tròn $(O)$ một góc ${{60}^{0}}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \widehat{O'HO}={{60}^{0}} \\
& O'H=\sqrt{{{h}^{2}}+9}.\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
& Sin\widehat{O'HO}=\dfrac{OO'}{O'H}=\dfrac{h}{\sqrt{{{h}^{2}}+9}}.\dfrac{2}{\sqrt{3}} \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{h}{\sqrt{{{h}^{2}}+9}}.\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow h=\dfrac{9}{\sqrt{7}} \\
& \Rightarrow O'A=\dfrac{12}{\sqrt{7}}\Rightarrow {{S}_{xq}}=\dfrac{36\pi }{\sqrt{7}} \\
\end{aligned}$
A. ${{S}_{xq}}=\dfrac{27\pi \sqrt{7}}{7}$.
B. ${{S}_{xq}}=\dfrac{81\pi \sqrt{7}}{7}$.
C. ${{S}_{xq}}=\dfrac{54\pi \sqrt{7}}{7}$.
D. ${{S}_{xq}}=\dfrac{36\pi \sqrt{7}}{7}$.
Ta có:
$O'A=\sqrt{{{R}^{2}}+{{h}^{2}}}=\sqrt{{{h}^{2}}+9}$
Gọi H là trung điểm của AB
Mặt phẳng $(O'AB)$ hợp với mặt phẳng chứa đường tròn $(O)$ một góc ${{60}^{0}}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \widehat{O'HO}={{60}^{0}} \\
& O'H=\sqrt{{{h}^{2}}+9}.\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
& Sin\widehat{O'HO}=\dfrac{OO'}{O'H}=\dfrac{h}{\sqrt{{{h}^{2}}+9}}.\dfrac{2}{\sqrt{3}} \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{h}{\sqrt{{{h}^{2}}+9}}.\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow h=\dfrac{9}{\sqrt{7}} \\
& \Rightarrow O'A=\dfrac{12}{\sqrt{7}}\Rightarrow {{S}_{xq}}=\dfrac{36\pi }{\sqrt{7}} \\
\end{aligned}$
Đáp án D.