Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$, đáy là đường tròn tâm $O$ bán kính $R=5$, góc ở đỉnh bằng $60{}^\circ $. Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AB=6$. Tính khoảng cách từ $O$ đến $\left( SAB \right)$.
A. $\dfrac{20\sqrt{273}}{90}$.
B. $\dfrac{20\sqrt{270}}{91}$.
C. $\dfrac{20\sqrt{271}}{91}$.
D. $\dfrac{20\sqrt{273}}{91}$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB~\Rightarrow OI\bot AB$.
Mà $AB\bot SO$
$\Rightarrow AB\bot \left( SIO \right)\Rightarrow \left( SAB \right)\bot \left( SIO \right)$
Trong $\left( SIO \right)$ vẽ $OK\bot SI=\left( SAB \right)\cap \left( SIO \right)$ $\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow OK=d\left( O,\left( SAB \right) \right)$.
Góc ở đỉnh bằng $60{}^\circ $ $\Rightarrow \widehat{ASO}=30{}^\circ ~$, mà $OA=R=5\Rightarrow SO=5\sqrt{3}$
$\Delta IAO$ vuông tại $I$ có: $OA=5,AI=\dfrac{AB}{2}=3\Rightarrow OI=4$
$\Delta SOI$ vuông tại $O$, đường cao $OK$ có: $\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Rightarrow OK=\dfrac{20\sqrt{273}}{91}$.
Vậy $d\left( O,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{20\sqrt{273}}{91}$.
A. $\dfrac{20\sqrt{273}}{90}$.
B. $\dfrac{20\sqrt{270}}{91}$.
C. $\dfrac{20\sqrt{271}}{91}$.
D. $\dfrac{20\sqrt{273}}{91}$.
Mà $AB\bot SO$
$\Rightarrow AB\bot \left( SIO \right)\Rightarrow \left( SAB \right)\bot \left( SIO \right)$
Trong $\left( SIO \right)$ vẽ $OK\bot SI=\left( SAB \right)\cap \left( SIO \right)$ $\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow OK=d\left( O,\left( SAB \right) \right)$.
Góc ở đỉnh bằng $60{}^\circ $ $\Rightarrow \widehat{ASO}=30{}^\circ ~$, mà $OA=R=5\Rightarrow SO=5\sqrt{3}$
$\Delta IAO$ vuông tại $I$ có: $OA=5,AI=\dfrac{AB}{2}=3\Rightarrow OI=4$
$\Delta SOI$ vuông tại $O$, đường cao $OK$ có: $\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Rightarrow OK=\dfrac{20\sqrt{273}}{91}$.
Vậy $d\left( O,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{20\sqrt{273}}{91}$.
Đáp án D.
