Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$, tâm của đáy là $O$ và bán kính đường tròn đáy bằng $5.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua đỉnh hình nón và cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài bằng $6.$ Biết rằng thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón trên bằng $\dfrac{100\pi \sqrt{3}}{3}$. Khoảng cách từ $O$ đến $\left( P \right)$ bằng
A. $\sqrt{3}$.
B. $3\sqrt{2}$.
C. $4\sqrt{3}$.
D. $2\sqrt{3}$.
Giả sử mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt đường tròn đáy theo cây cung $BC\Rightarrow BC=6$, gọi $I$ là trung điểm $BC$ suy ra $OI\bot BC$ và $BI=CI=3.$
Ta có: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}.\pi {{.5}^{2}}.h=\dfrac{100\pi \sqrt{3}}{3}\Rightarrow h=4\sqrt{3}\Rightarrow SO=4\sqrt{3}$
Theo định lý py – ta – go: $OI=\sqrt{O{{B}^{2}}-B{{I}^{2}}}=4$.
Hạ $OH\bot SI\left( 1 \right)$, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot OI \\
& BC\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOI \right)\Rightarrow BC\bot OH\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow OH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( O,\left( SBC \right) \right)=OH$
Xét tam giác $SOI$ có: $OH=\dfrac{SO.OI}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}}=2\sqrt{3}.$.
A. $\sqrt{3}$.
B. $3\sqrt{2}$.
C. $4\sqrt{3}$.
D. $2\sqrt{3}$.
Ta có: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}.\pi {{.5}^{2}}.h=\dfrac{100\pi \sqrt{3}}{3}\Rightarrow h=4\sqrt{3}\Rightarrow SO=4\sqrt{3}$
Theo định lý py – ta – go: $OI=\sqrt{O{{B}^{2}}-B{{I}^{2}}}=4$.
Hạ $OH\bot SI\left( 1 \right)$, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot OI \\
& BC\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOI \right)\Rightarrow BC\bot OH\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow OH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( O,\left( SBC \right) \right)=OH$
Xét tam giác $SOI$ có: $OH=\dfrac{SO.OI}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}}=2\sqrt{3}.$.
Đáp án D.
