Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $O$ có góc ở đỉnh bằng $120^{\circ}$ và đáy là hình tròn có bán kính bằng $\sqrt{3}$. Biết rằng khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh $O$, thiết diện thu được tam giác đều $O A B$ với $A, B$ thuộc đường tròn đáy. Diện tích của tam giác $O A B$ bằng
A. $\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{3 \sqrt{3}}{4}$.
D. $2 \sqrt{3}$.
Gọi $I$ là tâm của đáy, thiết diện qua trục của hình nón là $\triangle O C D$.
Vì góc ở đỉnh bằng $120^{\circ}$ nên $\widehat{C O D}=120^{\circ}$, suy ra $\widehat{C O I}=60^{\circ}$.
Xét $\triangle O C I$ vuông tại $I$, ta có $O I=I C \cdot \cot \widehat{C O I}=\sqrt{3} \cdot \cot 60^{\circ}=\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}=1$.
Xét $\triangle O A I$ vuông tại $I$, ta có $O A=\sqrt{O I^2+I A^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$.
Vì $\triangle O A B$ là tam giác đều có cạnh $O A=2$ nên diện tích $\triangle O A B$ là $S_{\triangle O A B}=\dfrac{O A^2 \sqrt{3}}{4}=\dfrac{2^2 \cdot \sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$.
A. $\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{3 \sqrt{3}}{4}$.
D. $2 \sqrt{3}$.
Vì góc ở đỉnh bằng $120^{\circ}$ nên $\widehat{C O D}=120^{\circ}$, suy ra $\widehat{C O I}=60^{\circ}$.
Xét $\triangle O C I$ vuông tại $I$, ta có $O I=I C \cdot \cot \widehat{C O I}=\sqrt{3} \cdot \cot 60^{\circ}=\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}=1$.
Xét $\triangle O A I$ vuông tại $I$, ta có $O A=\sqrt{O I^2+I A^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$.
Vì $\triangle O A B$ là tam giác đều có cạnh $O A=2$ nên diện tích $\triangle O A B$ là $S_{\triangle O A B}=\dfrac{O A^2 \sqrt{3}}{4}=\dfrac{2^2 \cdot \sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$.
Đáp án A.
