Google
Câu hỏi: Cho hình nón có đường cao $h=5a$ và bán kính đáy $r=12a$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài $10a$. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và hình nón đã cho.
A. $69{{a}^{2}}$.
B. $120{{a}^{2}}$.
C. $60{{a}^{2}}$.
D. $\dfrac{119{{a}^{2}}}{2}$.
Gọi $S$ là đỉnh của hình nón và $O$ là tâm của đường tròn đáy.
Giả sử mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác $SAB$ cân tại $S$.
Theo giả thiết ta có: $SO=5a$, $OA=OB=12a$ và $AB=10a$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ suy ra $MA=MB=\dfrac{AB}{2}=5a$ và $OM\bot AB$.
Xét tam giác $OMA$ vuông tại $M$ có: $O{{M}^{2}}=O{{A}^{2}}-M{{A}^{2}}=144{{a}^{2}}-25{{a}^{2}}=119{{a}^{2}}$.
Xét tam giác $SOM$ vuông tại $O$ có: $SM=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{M}^{2}}}=\sqrt{25{{a}^{2}}+119{{a}^{2}}}=12a$.
Tam giác $SAB$ cân tại $S$, có $SM$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.
Vậy diện tích của thiết diện: ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SM.AB=\dfrac{1}{2}.12a.10a=60{{a}^{2}}$.
A. $69{{a}^{2}}$.
B. $120{{a}^{2}}$.
C. $60{{a}^{2}}$.
D. $\dfrac{119{{a}^{2}}}{2}$.
Giả sử mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác $SAB$ cân tại $S$.
Theo giả thiết ta có: $SO=5a$, $OA=OB=12a$ và $AB=10a$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ suy ra $MA=MB=\dfrac{AB}{2}=5a$ và $OM\bot AB$.
Xét tam giác $OMA$ vuông tại $M$ có: $O{{M}^{2}}=O{{A}^{2}}-M{{A}^{2}}=144{{a}^{2}}-25{{a}^{2}}=119{{a}^{2}}$.
Xét tam giác $SOM$ vuông tại $O$ có: $SM=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{M}^{2}}}=\sqrt{25{{a}^{2}}+119{{a}^{2}}}=12a$.
Tam giác $SAB$ cân tại $S$, có $SM$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.
Vậy diện tích của thiết diện: ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SM.AB=\dfrac{1}{2}.12a.10a=60{{a}^{2}}$.
Đáp án C.
