Google
Câu hỏi: Cho khối nón tròn xoay có đường cao $h=5a$ và bán kính đáy $r=4a$. Một mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm $O$ của đáy bằng $3a$. Diện tích thiết diện tạo bởi $\left( P \right)$ và hình nón là
A. $\dfrac{25\sqrt{31}}{16}{{a}^{2}}$.
B. $\dfrac{5\sqrt{31}}{8}{{a}^{2}}$.
C. $\dfrac{5\sqrt{41}}{16}{{a}^{2}}$.
D. $\dfrac{25\sqrt{41}}{32}{{a}^{2}}$.
Thiết diện tạo bởi $\left( P \right)$ và hình nón là $\Delta SAB$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$.
Từ $O$ kẻ $OK\bot SH$. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OH \\
& AB\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)\Rightarrow AB\bot OK$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OK\bot SH \\
& OK\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right)\Rightarrow d\left( O;(SAB) \right)=OK=3a$
$\Delta SOH$ vuông tại $H$ : $\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{OK.OS}{\sqrt{O{{S}^{2}}-O{{K}^{2}}}}=\dfrac{3a.5a}{\sqrt{{{\left( 5a \right)}^{2}}-{{\left( 3a \right)}^{2}}}}=\dfrac{15}{4}a$.
$\Rightarrow SH=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}=}\sqrt{{{\left( 5a \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{15}{4}a \right)}^{2}}}=\dfrac{25}{4}a$.
$\Delta OAH$ vuông tại $H$ $\Rightarrow AH=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 4a \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{15}{4}a \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{31}}{4}a\Rightarrow AB=\dfrac{\sqrt{31}}{2}a$.
Vậy ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SH.AB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{25}{4}a.\dfrac{\sqrt{31}}{2}a=\dfrac{25\sqrt{31}}{16}{{a}^{2}}$.
A. $\dfrac{25\sqrt{31}}{16}{{a}^{2}}$.
B. $\dfrac{5\sqrt{31}}{8}{{a}^{2}}$.
C. $\dfrac{5\sqrt{41}}{16}{{a}^{2}}$.
D. $\dfrac{25\sqrt{41}}{32}{{a}^{2}}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$.
Từ $O$ kẻ $OK\bot SH$. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OH \\
& AB\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)\Rightarrow AB\bot OK$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OK\bot SH \\
& OK\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right)\Rightarrow d\left( O;(SAB) \right)=OK=3a$
$\Delta SOH$ vuông tại $H$ : $\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{OK.OS}{\sqrt{O{{S}^{2}}-O{{K}^{2}}}}=\dfrac{3a.5a}{\sqrt{{{\left( 5a \right)}^{2}}-{{\left( 3a \right)}^{2}}}}=\dfrac{15}{4}a$.
$\Rightarrow SH=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}=}\sqrt{{{\left( 5a \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{15}{4}a \right)}^{2}}}=\dfrac{25}{4}a$.
$\Delta OAH$ vuông tại $H$ $\Rightarrow AH=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 4a \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{15}{4}a \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{31}}{4}a\Rightarrow AB=\dfrac{\sqrt{31}}{2}a$.
Vậy ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SH.AB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{25}{4}a.\dfrac{\sqrt{31}}{2}a=\dfrac{25\sqrt{31}}{16}{{a}^{2}}$.
Đáp án A.