Google
Câu hỏi: Cho hình nón có chiều cao $h=20$, bán kính đáy $r=25$. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là $12$.Tính diện tích $S$ của thiết diện đó.
A. $S=500$
B. $S=400$
C. $S=300$
D. $S=406$
A. $S=500$
B. $S=400$
C. $S=300$
D. $S=406$
Giả sử hình nón đỉnh $S$, tâm đáy $O$ và có thiết diện qua đỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\Delta SAB$ (hình vẽ).
Ta có $SO$ là đường cao của hình nón. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow OI\bot AB$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$ $\Rightarrow OH\bot SI$.
Ta chứng minh được $OH\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow OH=d\left( O, (SAB) \right)=12$.
Xét tam giác vuông $SOI$ có $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}$ $=\dfrac{1}{{{12}^{2}}}-\dfrac{1}{{{20}^{2}}}$ $=\dfrac{1}{225}$.
$\Rightarrow O{{I}^{2}}=225\Rightarrow OI=15$.
Xét tam giác vuông $SOI$ có $SI=\sqrt{O{{S}^{2}}+O{{I}^{2}}}$ $=\sqrt{{{20}^{2}}+{{15}^{2}}}$ $=25$.
Xét tam giác vuông $OIA$ có $IA=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{I}^{2}}}$ $=\sqrt{{{25}^{2}}-{{15}^{2}}}$ $=20$ $\Rightarrow AB=40$.
Ta có $S={{S}_{\Delta ABC}}$ $=\dfrac{1}{2}AB.SI$ $=\dfrac{1}{2}.40.25$ $=500$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$ $\Rightarrow OH\bot SI$.
Ta chứng minh được $OH\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow OH=d\left( O, (SAB) \right)=12$.
Xét tam giác vuông $SOI$ có $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}$ $=\dfrac{1}{{{12}^{2}}}-\dfrac{1}{{{20}^{2}}}$ $=\dfrac{1}{225}$.
$\Rightarrow O{{I}^{2}}=225\Rightarrow OI=15$.
Xét tam giác vuông $SOI$ có $SI=\sqrt{O{{S}^{2}}+O{{I}^{2}}}$ $=\sqrt{{{20}^{2}}+{{15}^{2}}}$ $=25$.
Xét tam giác vuông $OIA$ có $IA=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{I}^{2}}}$ $=\sqrt{{{25}^{2}}-{{15}^{2}}}$ $=20$ $\Rightarrow AB=40$.
Ta có $S={{S}_{\Delta ABC}}$ $=\dfrac{1}{2}AB.SI$ $=\dfrac{1}{2}.40.25$ $=500$.
Đáp án A.
