Cho hình lập phương $ABCD.MNPQ$ cạnh bằng $a.$ Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( CNQ \right).$

Gọi $\left\{ O \right\}=MP\cap NQ,\left\{ H \right\}=AP\cap CO.$
Nhận xét: Hình chiếu vuông góc của $AP$ lên mặt phẳng $\left( CDQP \right)$ là $DP\bot CQ$ suy ra $AP\bot CQ$ ; hình chiếu vuông góc của $AP$ lên mặt phẳng $\left( MNPQ \right)$ là $MP\bot NQ$ suy ra $AN\bot NQ.$ Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& AP\bot NQ \\
& AP\bot CQ \\
& NQ,CQ\subset \left( CNQ \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AP\bot \left( CNQ \right)\Rightarrow d\left( A,\left( CNQ \right) \right)=AH.$
Vì $AC//OP\Rightarrow \dfrac{AH}{HP}=\dfrac{AC}{OP}=2\Rightarrow AH=\dfrac{2}{3}AP.$
Dễ thấy $AP=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{M}^{2}}}=a\sqrt{3}.$
Vậy $d\left( A,\left( CNQ \right) \right)=AH=\dfrac{2}{3}a\sqrt{3}\Rightarrow d\left( A,\left( CNQ \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.$