Google
Câu hỏi: Trong không gian, hình lăng trụ $ABCD.MNPQ$ có tất cả các cạnh bằng $\sqrt{3}$, đáy $ABCD$ là hình thoi và $\widehat{BAD}=60{}^\circ $. Các mặt phẳng $\left( ADQM \right)$, $\left( ABNM \right)$ cùng tạo với đáy của lăng trụ góc $\alpha $ thỏa mãn $\tan \alpha =2\sqrt{11}$ và hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $\left( MNPQ \right)$ nằm bên trong hình thoi này, Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $AMNQ$. Tính thể tích khối tứ diện $OABM$.
A. $\dfrac{\sqrt{33}}{88}$
B. $\dfrac{\sqrt{33}}{22}$
C. $\dfrac{3\sqrt{33}}{44}$
D. $\dfrac{3\sqrt{33}}{88}$
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $\left( MNPQ \right)$. Kẻ $KH\bot MN$ với $K\in MN$ $\Rightarrow KA\bot MN$.
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
NM=\left( ABNM \right)\cap \left( MNPQ \right) \\
AH\bot MN \\
KH\bot MN \\
KA\bot MN \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left( \left( ABNM \right),\left( MNPQ \right) \right)=\left( KH,KA \right)=\widehat{HKA}\left( \widehat{KHA}=90{}^\circ \right)$.
Xét tam giác $KAH$ vuông tại $H$ có $\dfrac{HA}{KH}=\tan \widehat{HKA}=\tan \alpha =2\sqrt{11}\Rightarrow KH=\dfrac{HA}{2\sqrt{11}}$.
Xét tam giác $MHK$ vuông tại $K$ có $\dfrac{KH}{MH}=\cos \widehat{HMK}=\sin 30{}^\circ \Rightarrow KH=\dfrac{MH}{2}$.
Xét tam giác $AHM$ vuông tại $H$ có:
$A{{M}^{2}}=M{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}\Leftrightarrow 3={{\left( \dfrac{AH}{\sqrt{11}} \right)}^{2}}+A{{H}^{2}}\Rightarrow AH=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\Rightarrow MH=\dfrac{1}{2}$.
Tam giác $MQN$ đều, gọi $E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam $MQN$ $\Rightarrow ME=\dfrac{2}{3}.\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=1$.
Dựng $FE$ là trục đường ngoại tiếp của tam giác $MNQ$ với $F\in AC$.
Khi đó $O$ là giao điểm mặt phẳng trung trực của đọan $MA$ và đường thẳng $EF$.
$\Rightarrow OM=OA\Leftrightarrow F{{A}^{2}}+F{{O}^{2}}=M{{E}^{2}}+E{{O}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( ME-MH \right)}^{2}}+F{{O}^{2}}=M{{E}^{2}}+{{\left( EF-FO \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\left( 1-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+F{{O}^{2}}={{1}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{11}}{2}-FO \right)}^{2}}\Rightarrow FO=\dfrac{7\sqrt{11}}{22}$ $\Rightarrow OA=\sqrt{A{{F}^{2}}+F{{O}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{165}}{11}$.
$\Rightarrow IO=\sqrt{M{{O}^{2}}-M{{I}^{2}}}=\dfrac{3\sqrt{33}}{22}\Rightarrow {{V}_{BOAM}}=\dfrac{1}{3}d\left( B,\left( OAM \right) \right){{S}_{OAM}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\dfrac{3\sqrt{33}}{22}=\dfrac{3\sqrt{33}}{88}$.
A. $\dfrac{\sqrt{33}}{88}$
B. $\dfrac{\sqrt{33}}{22}$
C. $\dfrac{3\sqrt{33}}{44}$
D. $\dfrac{3\sqrt{33}}{88}$
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
NM=\left( ABNM \right)\cap \left( MNPQ \right) \\
AH\bot MN \\
KH\bot MN \\
KA\bot MN \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left( \left( ABNM \right),\left( MNPQ \right) \right)=\left( KH,KA \right)=\widehat{HKA}\left( \widehat{KHA}=90{}^\circ \right)$.
Xét tam giác $KAH$ vuông tại $H$ có $\dfrac{HA}{KH}=\tan \widehat{HKA}=\tan \alpha =2\sqrt{11}\Rightarrow KH=\dfrac{HA}{2\sqrt{11}}$.
Xét tam giác $MHK$ vuông tại $K$ có $\dfrac{KH}{MH}=\cos \widehat{HMK}=\sin 30{}^\circ \Rightarrow KH=\dfrac{MH}{2}$.
Xét tam giác $AHM$ vuông tại $H$ có:
$A{{M}^{2}}=M{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}\Leftrightarrow 3={{\left( \dfrac{AH}{\sqrt{11}} \right)}^{2}}+A{{H}^{2}}\Rightarrow AH=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\Rightarrow MH=\dfrac{1}{2}$.
Tam giác $MQN$ đều, gọi $E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam $MQN$ $\Rightarrow ME=\dfrac{2}{3}.\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=1$.
Dựng $FE$ là trục đường ngoại tiếp của tam giác $MNQ$ với $F\in AC$.
Khi đó $O$ là giao điểm mặt phẳng trung trực của đọan $MA$ và đường thẳng $EF$.
$\Rightarrow OM=OA\Leftrightarrow F{{A}^{2}}+F{{O}^{2}}=M{{E}^{2}}+E{{O}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( ME-MH \right)}^{2}}+F{{O}^{2}}=M{{E}^{2}}+{{\left( EF-FO \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\left( 1-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+F{{O}^{2}}={{1}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{11}}{2}-FO \right)}^{2}}\Rightarrow FO=\dfrac{7\sqrt{11}}{22}$ $\Rightarrow OA=\sqrt{A{{F}^{2}}+F{{O}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{165}}{11}$.
$\Rightarrow IO=\sqrt{M{{O}^{2}}-M{{I}^{2}}}=\dfrac{3\sqrt{33}}{22}\Rightarrow {{V}_{BOAM}}=\dfrac{1}{3}d\left( B,\left( OAM \right) \right){{S}_{OAM}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\dfrac{3\sqrt{33}}{22}=\dfrac{3\sqrt{33}}{88}$.
Đáp án D.