Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A}'$ (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( A{B}'C \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Gọi $N$ là trung điểm $C{C}'$ và $I=NB\cap {B}'C$.
Khi đó $d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=d\left( N,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $AC$ và ${B}'H$.
Ta có $AC\bot BH, AC\bot B{B}'\Rightarrow AC\bot \left( {B}'BH \right)\Rightarrow AC\bot BK$, khi đó $BK\bot \left( A{B}'C \right)$ hay $d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}BK$.
Ta có $BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BK=\dfrac{BH.B{B}'}{\sqrt{B{{H}^{2}}+B{{{{B}'}}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a}{\sqrt{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$. Vậy $d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Khi đó $d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=d\left( N,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $AC$ và ${B}'H$.
Ta có $AC\bot BH, AC\bot B{B}'\Rightarrow AC\bot \left( {B}'BH \right)\Rightarrow AC\bot BK$, khi đó $BK\bot \left( A{B}'C \right)$ hay $d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}BK$.
Ta có $BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BK=\dfrac{BH.B{B}'}{\sqrt{B{{H}^{2}}+B{{{{B}'}}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a}{\sqrt{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$. Vậy $d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
Đáp án B.
