Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A}'$
Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( A{B}'C \right)$ bằng.
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
Gọi $K$ là trung điểm của $AC$, dựng $BH\bot {B}'K$ tại $H$
Ta có: $d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)$.
$\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& BH\bot {B}'K \\
& BH\bot AC\left( AC\bot \left( B{B}'K \right)\supset BH \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow BH\bot \left( A{B}'C \right) \\
& \Rightarrow d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)=BH \\
\end{aligned}$.
Xét tam giác vuông $B{B}'K$ ta có:
$\begin{aligned}
& \dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{K}^{2}}} \\
& \Leftrightarrow BH=\dfrac{B{B}'.BK}{\sqrt{B{{{{B}'}}^{2}}+B{{K}^{2}}}}=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7} \\
\end{aligned}$
Vậy $d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}BH=\dfrac{1}{2}\dfrac{a\sqrt{21}}{7}=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
Ta có: $d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)$.
$\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& BH\bot {B}'K \\
& BH\bot AC\left( AC\bot \left( B{B}'K \right)\supset BH \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow BH\bot \left( A{B}'C \right) \\
& \Rightarrow d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)=BH \\
\end{aligned}$.
Xét tam giác vuông $B{B}'K$ ta có:
$\begin{aligned}
& \dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{K}^{2}}} \\
& \Leftrightarrow BH=\dfrac{B{B}'.BK}{\sqrt{B{{{{B}'}}^{2}}+B{{K}^{2}}}}=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7} \\
\end{aligned}$
Vậy $d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}BH=\dfrac{1}{2}\dfrac{a\sqrt{21}}{7}=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
Đáp án A.