Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $\widehat{BAC}=60{}^\circ $, $AB=3a$ và $AC=4a$. Gọi $M$ là trung điểm của ${B}'{C}'$, biết khoảng các từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {B}'AC \right)$ bằng $\dfrac{3a\sqrt{15}}{10}$. Thể tích khối lăng trụ bằng
A. $4{{a}^{3}}$
B. $27{{a}^{3}}$
C. $7{{a}^{3}}$
D. $9{{a}^{3}}$
Gọi ${B}'C\cap BM=G$, ta có: $\dfrac{d\left( M;\left( {B}'AC \right) \right)}{d\left( B;\left( {B}'AC \right) \right)}=\dfrac{MG}{BG}=\dfrac{{B}'M}{BC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left( B;\left( {B}'AC \right) \right)=\dfrac{3a\sqrt{15}}{5}$.
Kẻ $BK\bot AC$, mà $AC\bot B{B}'$ nên $AC\bot \left( B{B}'K \right)\Rightarrow \left( {B}'AC \right)\bot \left( B{B}'K \right)$.
$\left( {B}'AC \right)\cap \left( B{B}'K \right)={B}'K$, trong mp $\left( {B}'BK \right)$ kẻ $BH\bot {B}'K$, khi đó: $BH\bot \left( {B}'AC \right)$.
Do đó: $d\left( B;\left( {B}'AC \right) \right)=BH=\dfrac{3a\sqrt{15}}{5}$.
$\Delta AKB$ vuông tại $K$ nên $BK=AB.\sin {{60}^{o}}=3a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}$.
Mặt khác: $\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( \dfrac{3a\sqrt{15}}{5} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{3a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}\Leftrightarrow B{B}'=3a\sqrt{3}$.
Vậy $V=B{B}'.{{S}_{\Delta ABC}}=3a\sqrt{3}.\dfrac{1}{2}.3a.4a.\sin {{60}^{o}}=27{{a}^{3}}$.
A. $4{{a}^{3}}$
B. $27{{a}^{3}}$
C. $7{{a}^{3}}$
D. $9{{a}^{3}}$
Kẻ $BK\bot AC$, mà $AC\bot B{B}'$ nên $AC\bot \left( B{B}'K \right)\Rightarrow \left( {B}'AC \right)\bot \left( B{B}'K \right)$.
$\left( {B}'AC \right)\cap \left( B{B}'K \right)={B}'K$, trong mp $\left( {B}'BK \right)$ kẻ $BH\bot {B}'K$, khi đó: $BH\bot \left( {B}'AC \right)$.
Do đó: $d\left( B;\left( {B}'AC \right) \right)=BH=\dfrac{3a\sqrt{15}}{5}$.
$\Delta AKB$ vuông tại $K$ nên $BK=AB.\sin {{60}^{o}}=3a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}$.
Mặt khác: $\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( \dfrac{3a\sqrt{15}}{5} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{3a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}\Leftrightarrow B{B}'=3a\sqrt{3}$.
Vậy $V=B{B}'.{{S}_{\Delta ABC}}=3a\sqrt{3}.\dfrac{1}{2}.3a.4a.\sin {{60}^{o}}=27{{a}^{3}}$.
Đáp án B.
