Cho hình lập phương ABCD.MNPQ cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hình lập phương ABCD.MNPQ cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

(C N Q)

.
A.

\frac{2 a \sqrt{3}}{3}

.
B.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

.
C.

\frac{a \sqrt{3}}{4}

.
D.

\frac{a \sqrt{2}}{2}

.

Cách 1 (Tự luận):
Gọi O là tâm hình vuông MNPQ,

I = A P \cap C O

, H là hình chiếu của P trên CO.

\frac{d (A, (C N Q))}{d (P, (C N Q))} = \frac{A I}{P I} = \frac{C A}{P O} = 2

, suy ra

d (A, (C N Q)) = 2 d (P, (C N Q))

Ta có

{\begin{aligned} N Q ⊥ P M \\ N Q ⊥ C P \end{aligned} \Rightarrow N Q ⊥ (C P O) \Rightarrow N Q ⊥ P H

Do

{\begin{aligned} P H ⊥ N Q \\ P H ⊥ C O \end{aligned} \Rightarrow P H ⊥ (C N Q) \Rightarrow d (P, (C N Q)) = P H

Ta có

P O = \frac{a \sqrt{2}}{2}

;

C P = a

.
Vậy

d (A, (C N Q)) = 2 P H = 2. \frac{P O . P C}{\sqrt{P O^{2} + P C^{2}}} = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}

.
Cách 2 (Trắc nghiệm):
Gọi O là tâm hình vuông MNPQ,

I = A P \cap C O

.

\frac{d (A, (C N Q))}{d (P, (C N Q))} = \frac{A I}{P I} = \frac{C A}{P O} = 2

suy ra

d (A, (C N Q)) = 2 d (P, (C N Q))

.
Ta thấy PCNQ là tứ diện vuông tại P nên

\frac{1}{{[d (P, (C N Q))]}^{2}} = \frac{1}{P C^{2}} + \frac{1}{P N^{2}} + \frac{1}{P Q^{2}} = \frac{3}{a^{3}}

.
Suy ra

d (A, (C N Q)) = 2 d (P, (C N Q)) = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}

.

Đáp án A.