Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương ABCD.MNPQ cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left( CNQ \right)$.
A. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Cách 1 (Tự luận):
Gọi O là tâm hình vuông MNPQ, $I=AP\cap CO$, H là hình chiếu của P trên CO.
$\dfrac{d\left( A,\left( CNQ \right) \right)}{d\left( P,\left( CNQ \right) \right)}=\dfrac{AI}{PI}=\dfrac{CA}{PO}=2$, suy ra $d\left( A,\left( CNQ \right) \right)=2d\left( P,\left( CNQ \right) \right)$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& NQ\bot PM \\
& NQ\bot CP \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow NQ\bot \left( CPO \right)\Rightarrow NQ\bot PH$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& PH\bot NQ \\
& PH\bot CO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow PH\bot \left( CNQ \right)\Rightarrow d\left( P,\left( CNQ \right) \right)=PH$
Ta có $PO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ ; $CP=a$.
Vậy $d\left( A,\left( CNQ \right) \right)=2PH=2.\dfrac{PO.PC}{\sqrt{P{{O}^{2}}+P{{C}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Cách 2 (Trắc nghiệm):
Gọi O là tâm hình vuông MNPQ, $I=AP\cap CO$.
$\dfrac{d\left( A,\left( CNQ \right) \right)}{d\left( P,\left( CNQ \right) \right)}=\dfrac{AI}{PI}=\dfrac{CA}{PO}=2$ suy ra $d\left( A,\left( CNQ \right) \right)=2d\left( P,\left( CNQ \right) \right)$.
Ta thấy PCNQ là tứ diện vuông tại P nên $\dfrac{1}{{{\left[ d\left( P,\left( CNQ \right) \right) \right]}^{2}}}=\dfrac{1}{P{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{P{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{P{{Q}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{3}}}$.
Suy ra $d\left( A,\left( CNQ \right) \right)=2d\left( P,\left( CNQ \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Cách 1 (Tự luận):
Gọi O là tâm hình vuông MNPQ, $I=AP\cap CO$, H là hình chiếu của P trên CO.
$\dfrac{d\left( A,\left( CNQ \right) \right)}{d\left( P,\left( CNQ \right) \right)}=\dfrac{AI}{PI}=\dfrac{CA}{PO}=2$, suy ra $d\left( A,\left( CNQ \right) \right)=2d\left( P,\left( CNQ \right) \right)$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& NQ\bot PM \\
& NQ\bot CP \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow NQ\bot \left( CPO \right)\Rightarrow NQ\bot PH$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& PH\bot NQ \\
& PH\bot CO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow PH\bot \left( CNQ \right)\Rightarrow d\left( P,\left( CNQ \right) \right)=PH$
Ta có $PO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ ; $CP=a$.
Vậy $d\left( A,\left( CNQ \right) \right)=2PH=2.\dfrac{PO.PC}{\sqrt{P{{O}^{2}}+P{{C}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Cách 2 (Trắc nghiệm):
Gọi O là tâm hình vuông MNPQ, $I=AP\cap CO$.
$\dfrac{d\left( A,\left( CNQ \right) \right)}{d\left( P,\left( CNQ \right) \right)}=\dfrac{AI}{PI}=\dfrac{CA}{PO}=2$ suy ra $d\left( A,\left( CNQ \right) \right)=2d\left( P,\left( CNQ \right) \right)$.
Ta thấy PCNQ là tứ diện vuông tại P nên $\dfrac{1}{{{\left[ d\left( P,\left( CNQ \right) \right) \right]}^{2}}}=\dfrac{1}{P{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{P{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{P{{Q}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{3}}}$.
Suy ra $d\left( A,\left( CNQ \right) \right)=2d\left( P,\left( CNQ \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án A.