Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có cạnh bằng $a.$ Gọi ${{V}_{1}}, {{V}_{2}}, {{V}_{3}}$ lần lượt là thể tích của khối trụ ngoại tiếp, khối cầu nội tiếp, khối cầu ngoại tiếp hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$. Tính giá trị $P=\dfrac{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}}{{{V}_{3}}}$.
A. $P=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
B. $P=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$
C. $P=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
D. $P=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}.$
A. $P=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
B. $P=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$
C. $P=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
D. $P=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}.$
Ta có ${{V}_{1}}=\pi {{r}^{2}}h=\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}.a=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{2}$.
${{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}$
${{V}_{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi {{a}^{3}}$
Do đó $P=\dfrac{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}}{{{V}_{3}}}=\dfrac{\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{2}+\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi {{a}^{3}}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$.
${{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}$
${{V}_{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi {{a}^{3}}$
Do đó $P=\dfrac{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}}{{{V}_{3}}}=\dfrac{\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{2}+\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi {{a}^{3}}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$.
Đáp án D.