Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có cạnh bằng A. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $C{D}'$ và tạo
với mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)$ một góc $\varphi $ với $\tan \varphi =\dfrac{\sqrt{5}}{2}$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chia khối lặp phương thành hai khối đa diện có thể tích là ${{V}_{1}},{{V}_{2}}$ với ${{V}_{1}}>{{V}_{2}}$. Tính ${{V}_{1}}$.
A. ${{V}_{1}}=\dfrac{7}{12}{{a}^{3}}$.
B. ${{V}_{1}}=\dfrac{10}{17}{{a}^{3}}$.
C. ${{V}_{1}}=\dfrac{7}{24}{{a}^{3}}$.
D. ${{V}_{1}}=\dfrac{17}{24}{{a}^{3}}$ .
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua CD’ và cắt ${C}'{B}'$ tại I $\Rightarrow \left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)\cap \left( \alpha \right)={D}'I$.
Kẻ ${C}'H\bot DI\Rightarrow DI\bot CH\Rightarrow \varphi =\widehat{CH{C}'}$.
Ta có $\Delta C{C}'H$ vuông tại ${C}'\Rightarrow {C}'H={C}'C.\cot \varphi =\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$.
Ta có $\Delta {C}'{D}'I$ vuông tại $\dfrac{1}{{C}'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{C}'{{{{D}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{{C}'{{I}^{2}}}\Rightarrow {C}'{{I}^{2}}=4{{a}^{2}}\Rightarrow {C}'I=2a$.
Ta thấy với ${C}'I=2a$ thì $CI\cap {B}'B=Q$ nên Q là trung điểm $B{B}'$.
${D}'I\cap {A}'{B}'=P$ nên P là trung điểm ${A}'{B}'$.
Ta có:
${{V}_{I.C{C}'{D}'}}={{V}_{I.{B}'PQ}}+{{V}_{C{D}'{C}'.QP{B}'}}\Rightarrow {{V}_{C{D}'{C}'.QP{B}'}}={{V}_{I.C{C}'{D}'}}-{{V}_{I.{B}'PQ}}=\dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{1}{2}a.a-\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{1}{2}a.a=\dfrac{7{{a}^{3}}}{24}={{V}_{2}}$
Vì ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={{V}_{1}}+{{V}_{2}}={{V}_{1}}+{{V}_{C{D}'{C}'.QP{B}'}}\Rightarrow {{V}_{1}}={{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}-{{V}_{C{D}'{C}'.QP{B}'}}={{a}^{3}}-\dfrac{7{{a}^{3}}}{24}=\dfrac{17{{a}^{3}}}{24}$.
Vậy ${{V}_{1}}=\dfrac{17{{a}^{3}}}{24}$.
với mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)$ một góc $\varphi $ với $\tan \varphi =\dfrac{\sqrt{5}}{2}$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chia khối lặp phương thành hai khối đa diện có thể tích là ${{V}_{1}},{{V}_{2}}$ với ${{V}_{1}}>{{V}_{2}}$. Tính ${{V}_{1}}$.
A. ${{V}_{1}}=\dfrac{7}{12}{{a}^{3}}$.
B. ${{V}_{1}}=\dfrac{10}{17}{{a}^{3}}$.
C. ${{V}_{1}}=\dfrac{7}{24}{{a}^{3}}$.
D. ${{V}_{1}}=\dfrac{17}{24}{{a}^{3}}$ .
Kẻ ${C}'H\bot DI\Rightarrow DI\bot CH\Rightarrow \varphi =\widehat{CH{C}'}$.
Ta có $\Delta C{C}'H$ vuông tại ${C}'\Rightarrow {C}'H={C}'C.\cot \varphi =\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$.
Ta có $\Delta {C}'{D}'I$ vuông tại $\dfrac{1}{{C}'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{C}'{{{{D}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{{C}'{{I}^{2}}}\Rightarrow {C}'{{I}^{2}}=4{{a}^{2}}\Rightarrow {C}'I=2a$.
Ta thấy với ${C}'I=2a$ thì $CI\cap {B}'B=Q$ nên Q là trung điểm $B{B}'$.
${D}'I\cap {A}'{B}'=P$ nên P là trung điểm ${A}'{B}'$.
Ta có:
${{V}_{I.C{C}'{D}'}}={{V}_{I.{B}'PQ}}+{{V}_{C{D}'{C}'.QP{B}'}}\Rightarrow {{V}_{C{D}'{C}'.QP{B}'}}={{V}_{I.C{C}'{D}'}}-{{V}_{I.{B}'PQ}}=\dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{1}{2}a.a-\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{1}{2}a.a=\dfrac{7{{a}^{3}}}{24}={{V}_{2}}$
Vì ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={{V}_{1}}+{{V}_{2}}={{V}_{1}}+{{V}_{C{D}'{C}'.QP{B}'}}\Rightarrow {{V}_{1}}={{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}-{{V}_{C{D}'{C}'.QP{B}'}}={{a}^{3}}-\dfrac{7{{a}^{3}}}{24}=\dfrac{17{{a}^{3}}}{24}$.
Vậy ${{V}_{1}}=\dfrac{17{{a}^{3}}}{24}$.
Đáp án D.