Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có cạnh bằng 4. Xét hình nón $\left( N \right)$ có đáy nằm trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và mặt xung quanh đi qua bốn điểm ${A}',{B}',{C}',{D}'$. Khi bán kính đáy của $\left( N \right)$ bằng $3\sqrt{2}$, diện tích xung quanh của $\left( N \right)$ bằng
A. $72\pi $.
B. $54\pi $.
C. $36\sqrt{2}\pi $.
D. $108\pi $.
Gọi I là đỉnh của hình nón, O và ${O}'$ lần lượt là tâm của các hình vuông $ABCD$, ${A}'{B}'{C}'{D}'$.
Ta thấy $I\in O{O}'$.
Gọi E là giao điểm của $I{A}'$ với $\left( ABCD \right)$. Suy ra $A\in OE$.
$\left( N \right)$ có bán kính OE và đường cao IO.
Ta có $\Delta IOE\sim \Delta I{O}'{A}'$ $\Rightarrow \dfrac{I{O}'}{IO}=\dfrac{{O}'{A}'}{OE}\Leftrightarrow \dfrac{I{O}'}{I{O}'+O{O}'}=\dfrac{{O}'{A}'}{OE}\Leftrightarrow \dfrac{I{O}'}{I{O}'+4}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}\Leftrightarrow I{O}'=8$.
$\Rightarrow IO=8+4=12$.
Do đó độ dài đường sinh của $\left( N \right)$ bằng $IE=\sqrt{I{{O}^{2}}+O{{E}^{2}}}=\sqrt{{{12}^{2}}+18}=9\sqrt{2}$.
Vậy diện tích xung quanh của $\left( N \right)$ là ${{S}_{xq}}=\pi .9\sqrt{2}.3\sqrt{2}=54\pi $.
A. $72\pi $.
B. $54\pi $.
C. $36\sqrt{2}\pi $.
D. $108\pi $.
Ta thấy $I\in O{O}'$.
Gọi E là giao điểm của $I{A}'$ với $\left( ABCD \right)$. Suy ra $A\in OE$.
$\left( N \right)$ có bán kính OE và đường cao IO.
Ta có $\Delta IOE\sim \Delta I{O}'{A}'$ $\Rightarrow \dfrac{I{O}'}{IO}=\dfrac{{O}'{A}'}{OE}\Leftrightarrow \dfrac{I{O}'}{I{O}'+O{O}'}=\dfrac{{O}'{A}'}{OE}\Leftrightarrow \dfrac{I{O}'}{I{O}'+4}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}\Leftrightarrow I{O}'=8$.
$\Rightarrow IO=8+4=12$.
Do đó độ dài đường sinh của $\left( N \right)$ bằng $IE=\sqrt{I{{O}^{2}}+O{{E}^{2}}}=\sqrt{{{12}^{2}}+18}=9\sqrt{2}$.
Vậy diện tích xung quanh của $\left( N \right)$ là ${{S}_{xq}}=\pi .9\sqrt{2}.3\sqrt{2}=54\pi $.
Đáp án B.