Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh $a$. Các điểm $M,N,P$ lần lượt thuộc các cạnh $B{B}',{C}'{D}',DA$ sao cho $BM={C}'N=DP=\dfrac{a}{3}$. Tìm diện tích thiết diện $S$ của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng $\left( MNP \right)$.
A. $S=\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{2}}}{18}$.
B. $S=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}$.
C. $S=\dfrac{13\sqrt{3}{{a}^{2}}}{18}$.
D. $S=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}$.
Trong mp $\left( CD{D}'{C}' \right)$ dựng $NG\text{ // }C{C}'$, $G\in CD$, khi đó $BMNG$ là hình thang.
Trong mp $\left( BMNG \right)$ gọi $I=BG\cap MN$. Trong mp $\left( ABCD \right)$ gọi $H=IP\cap AB,J=IP\cap CD$.
Trong mp $\left( CD{D}'{C}' \right)$ gọi $K=NJ\cap D{D}'$, $Q=NJ\cap C{C}'$.
Trong mp $\left( BC{C}'{B}' \right)$ gọi $E=MQ\cap {B}'{C}'$.
Vậy thiết diện của hình lập phương cắt bởi mp $\left( MNP \right)$ là lục giác $MHPKNE$.
Ta chứng minh được hai tứ giác $MKPH$ và $MKNE$ là các hình thang cân.
+ Ta có $MK=BD=a\sqrt{2}$, $PH=\sqrt{A{{P}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{2}{3}a \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2}{3}a \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a$ ;
$MH=\sqrt{M{{B}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{9}+\dfrac{{{a}^{2}}}{9}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$ ; $OM=\dfrac{1}{2}\left( MK-PH \right)=\dfrac{1}{2}\left( a\sqrt{2}-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a \right)=\dfrac{\sqrt{6}}{6}a$ ; $HO=\sqrt{H{{M}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{2{{a}^{2}}}{9}-\dfrac{2{{a}^{2}}}{36}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}a}$ ;
Diện tích hình thang $MKPH$ là ${{S}_{MKPH}}=\dfrac{1}{2}\left( MK+PH \right)OH=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{2\sqrt{2}}{3}a+\sqrt{2}a \right)\dfrac{a\sqrt{6}}{6}=\dfrac{5\sqrt{3}}{18}{{a}^{2}}$.
+ Tương tự ta tính được $NE=\dfrac{a\sqrt{2}}{3};ME=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a;ET=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Diện tích hình thang $MKNE$ là ${{S}_{MKNE}}=\dfrac{1}{2}\left( MK+NE \right)ET=\dfrac{1}{2}\left( a\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{3}a \right)\dfrac{\sqrt{6}}{3}a=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}{{a}^{2}}$.
Vậy diện tích lục giác $MHPKNE$ là $S=\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{2}}}{18}+\dfrac{4\sqrt{3}{{a}^{2}}}{9}=\dfrac{13\sqrt{3}{{a}^{2}}}{18}$.
A. $S=\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{2}}}{18}$.
B. $S=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}$.
C. $S=\dfrac{13\sqrt{3}{{a}^{2}}}{18}$.
D. $S=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}$.
Trong mp $\left( BMNG \right)$ gọi $I=BG\cap MN$. Trong mp $\left( ABCD \right)$ gọi $H=IP\cap AB,J=IP\cap CD$.
Trong mp $\left( CD{D}'{C}' \right)$ gọi $K=NJ\cap D{D}'$, $Q=NJ\cap C{C}'$.
Trong mp $\left( BC{C}'{B}' \right)$ gọi $E=MQ\cap {B}'{C}'$.
Vậy thiết diện của hình lập phương cắt bởi mp $\left( MNP \right)$ là lục giác $MHPKNE$.
Ta chứng minh được hai tứ giác $MKPH$ và $MKNE$ là các hình thang cân.
$MH=\sqrt{M{{B}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{9}+\dfrac{{{a}^{2}}}{9}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$ ; $OM=\dfrac{1}{2}\left( MK-PH \right)=\dfrac{1}{2}\left( a\sqrt{2}-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a \right)=\dfrac{\sqrt{6}}{6}a$ ; $HO=\sqrt{H{{M}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{2{{a}^{2}}}{9}-\dfrac{2{{a}^{2}}}{36}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}a}$ ;
Diện tích hình thang $MKPH$ là ${{S}_{MKPH}}=\dfrac{1}{2}\left( MK+PH \right)OH=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{2\sqrt{2}}{3}a+\sqrt{2}a \right)\dfrac{a\sqrt{6}}{6}=\dfrac{5\sqrt{3}}{18}{{a}^{2}}$.
+ Tương tự ta tính được $NE=\dfrac{a\sqrt{2}}{3};ME=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a;ET=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Diện tích hình thang $MKNE$ là ${{S}_{MKNE}}=\dfrac{1}{2}\left( MK+NE \right)ET=\dfrac{1}{2}\left( a\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{3}a \right)\dfrac{\sqrt{6}}{3}a=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}{{a}^{2}}$.
Vậy diện tích lục giác $MHPKNE$ là $S=\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{2}}}{18}+\dfrac{4\sqrt{3}{{a}^{2}}}{9}=\dfrac{13\sqrt{3}{{a}^{2}}}{18}$.
Đáp án C.