Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có cạnh bằng $a$, điểm $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $I$ là tâm hình vuông $CD{D}'{C}'$. Mặt phẳng $\left( AMI \right)$ chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện không chứa điểm $D$ có thể tích là $V$. Khi đó giá trị của $V$ là
A. $V=\dfrac{7}{36}{{a}^{3}}$.
B. $V=\dfrac{22}{29}{{a}^{3}}$.
C. $V=\dfrac{7}{29}{{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{29}{36}{{a}^{3}}$.
Trong $\left( ABCD \right)$, gọi $E=AM\cap CD$.
Trong $\left( CD{D}'{C}' \right)$, gọi $F=EI\cap C{C}'$ và $G=EI\cap D{D}'$.
Ta có: $V={{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}-{{V}_{AMFGCD}}={{a}^{3}}-{{V}_{AMFGCD}}$ (1).
Lại có: ${{V}_{AMFGCD}}={{V}_{E.ADG}}-{{V}_{E.MCF}}$.
Mặt khác: $\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{EF}{EG}=\dfrac{1}{2}$ (do $M$ là trung điểm $BC$ ).
Xét: $\dfrac{{{V}_{E.MCF}}}{{{V}_{E.ADG}}}=\dfrac{EM}{EA}.\dfrac{EC}{ED}.\dfrac{EF}{EG}=\dfrac{1}{8}$ $\Rightarrow {{V}_{AMFGCD}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{E.ADG}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{G.AED}}=\dfrac{7}{8}.\dfrac{1}{3}.GD.{{S}_{\Delta AED}}$ (2).
Ta có: $\dfrac{CF}{DG}=\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{DG}{DD'}=\dfrac{DG}{DG+{D}'G}=\dfrac{DG}{DG+FC}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow DG=\dfrac{2a}{3}$ (3).
Và ${{S}_{\Delta AED}}=\dfrac{1}{2}d\left( E;AD \right).AD=\dfrac{1}{2}.2a.a={{a}^{2}}$ (4).
Từ (1), (2), (3), (4), ta suy ra $V={{a}^{3}}-{{V}_{AMFGCD}}=\dfrac{29}{36}{{a}^{3}}$.
B. $V=\dfrac{22}{29}{{a}^{3}}$.
C. $V=\dfrac{7}{29}{{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{29}{36}{{a}^{3}}$.
Trong $\left( CD{D}'{C}' \right)$, gọi $F=EI\cap C{C}'$ và $G=EI\cap D{D}'$.
Ta có: $V={{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}-{{V}_{AMFGCD}}={{a}^{3}}-{{V}_{AMFGCD}}$ (1).
Lại có: ${{V}_{AMFGCD}}={{V}_{E.ADG}}-{{V}_{E.MCF}}$.
Mặt khác: $\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{EF}{EG}=\dfrac{1}{2}$ (do $M$ là trung điểm $BC$ ).
Xét: $\dfrac{{{V}_{E.MCF}}}{{{V}_{E.ADG}}}=\dfrac{EM}{EA}.\dfrac{EC}{ED}.\dfrac{EF}{EG}=\dfrac{1}{8}$ $\Rightarrow {{V}_{AMFGCD}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{E.ADG}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{G.AED}}=\dfrac{7}{8}.\dfrac{1}{3}.GD.{{S}_{\Delta AED}}$ (2).
Ta có: $\dfrac{CF}{DG}=\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{DG}{DD'}=\dfrac{DG}{DG+{D}'G}=\dfrac{DG}{DG+FC}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow DG=\dfrac{2a}{3}$ (3).
Và ${{S}_{\Delta AED}}=\dfrac{1}{2}d\left( E;AD \right).AD=\dfrac{1}{2}.2a.a={{a}^{2}}$ (4).
Từ (1), (2), (3), (4), ta suy ra $V={{a}^{3}}-{{V}_{AMFGCD}}=\dfrac{29}{36}{{a}^{3}}$.
Đáp án D.