Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy bằng $a$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và ${A}'C$ bằng $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$. Thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là
A. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
C. $V=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
D. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
Gọi $I$, ${I}'$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và ${A}'{B}'$ suy ra $IC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên cạnh ${I}'C$ suy ra $\text{d}\left( I,\left( {A}'{B}'C \right) \right)=IH$.
Ta có $AB\parallel {A}'{B}'$ nên $\text{d}\left( AB,{A}'C \right)=\text{d}\left( AB,\left( {A}'{B}'C \right) \right)=\text{d}\left( I,\left( {A}'{B}'C \right) \right)=IH=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Khi đó $\dfrac{1}{I{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{I{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{I{{{{I}'}}^{2}}}\Leftrightarrow I{I}'=a\sqrt{3}$.
Thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
A. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
C. $V=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
D. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên cạnh ${I}'C$ suy ra $\text{d}\left( I,\left( {A}'{B}'C \right) \right)=IH$.
Ta có $AB\parallel {A}'{B}'$ nên $\text{d}\left( AB,{A}'C \right)=\text{d}\left( AB,\left( {A}'{B}'C \right) \right)=\text{d}\left( I,\left( {A}'{B}'C \right) \right)=IH=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Khi đó $\dfrac{1}{I{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{I{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{I{{{{I}'}}^{2}}}\Leftrightarrow I{I}'=a\sqrt{3}$.
Thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
Đáp án B.