Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC=2a, AB=a\sqrt{3}$. Khoảng cách từ $A{A}'$ đến mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{7}}{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$.
Ta có $AH\bot BC, AH\bot B{B}'\Rightarrow AH\bot \left( BC{C}'{B}' \right)$ hay $d\left( A,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AH$
Mặt khác: $A{A}'//\left( BC{C}'{B}' \right)$, suy ra $d\left( A{A}',\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=d\left( A,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AH$
Do $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a$. Ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $d\left( A{A}',\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{7}}{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
Ta có $AH\bot BC, AH\bot B{B}'\Rightarrow AH\bot \left( BC{C}'{B}' \right)$ hay $d\left( A,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AH$
Mặt khác: $A{A}'//\left( BC{C}'{B}' \right)$, suy ra $d\left( A{A}',\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=d\left( A,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AH$
Do $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a$. Ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $d\left( A{A}',\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án B.